모리타 문맥

환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, 영어: Morita context)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 영어: Morita ring)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 영어: triangular (matrix) ring)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

정의

행렬을 통한 정의

환 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$ 사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[1]:486; 503, Exercise §18.18}

• ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle {}_{R}M_{S}}$
• ${\displaystyle (S,R)}$-쌍가군 ${\displaystyle {}_{S}N_{R}}$
• ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon {}_{R}(M\otimes _{S}N)_{R}\to {}_{R}R_{R}}$
• ${\displaystyle (S,S)}$-쌍가군 준동형 ${\displaystyle \psi \colon {}_{S}(N\otimes _{R}M)_{S}\to {}_{S}S_{S}}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle \operatorname {id} _{M}\otimes _{S}\psi =\phi \otimes _{R}\operatorname {id} _{N}}$
• ${\displaystyle \psi \otimes _{S}\operatorname {id} _{N}=\operatorname {id} _{M}\otimes _{R}N}$

모리타 문맥 ${\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )}$이 주어졌을 때, 아벨 군

${\displaystyle R\oplus M\oplus N\oplus S}$

위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환(영어: Morita ring)이라고 한다.

${\displaystyle (r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi (m\otimes _{S}n'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi (n\otimes _{R}m')\right)}$

${\displaystyle R\oplus M\oplus N\oplus S}$의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r&m\\n&s\end{pmatrix}}\qquad (r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)}$

로 나타내며 ${\displaystyle \phi }$와 ${\displaystyle \psi }$를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}}$

로 표기한다.

특수한 경우로, ${\displaystyle N=0}$이며 ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \psi }$는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.^{[2]:16, Example 1.14[1]:503, Exercise §18.18} 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 ${\displaystyle R\oplus M\oplus S}$이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.

${\displaystyle (r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad (r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)}$

멱등원을 통한 정의

삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.^{[3]:430, Theorem 6.4(c)[4]} 모리타 문맥 ${\displaystyle (T,e)}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle T}$는 환이다.
• ${\displaystyle e\in T}$는 멱등원이다. 즉, ${\displaystyle e^{2}=e}$를 만족시킨다.

이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, ${\displaystyle (T,e)}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle R=eTe}$

${\displaystyle S=(1-e)T(1-e)}$

${\displaystyle M=eT(1-e)}$

${\displaystyle N=(1-e)Te}$

${\displaystyle \phi \colon \left(eT(1-e)\otimes _{R}(1-e)Te\right)\to eTe}$

${\displaystyle \phi \colon \left(et(1-e)\otimes _{R}(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e}$

${\displaystyle \psi \colon \left((1-e)Te\otimes _{S}eT(1-e)\right)\to (1-e)T(1-e)}$

${\displaystyle \psi \colon \left((1-e)te\otimes _{S}et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)}$

로 놓으면, ${\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )}$는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 ${\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )}$이 주어졌을 때,

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1_{R}&0_{M}\\0_{N}&0_{S}\end{pmatrix}}}$

로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 ${\displaystyle N=(1-e)Te=0}$일 경우, ${\displaystyle (T,e)}$는 삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$을 정의한다.

준가법 범주를 통한 정의

모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$ 위의 풍성한 범주)이다.^{[3]:430, Theorem 6.4(a)} 이러한 준가법 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 주어졌으며, 그 두 대상이 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle R=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)=\hom _{\mathcal {C}}(X,X)}$

${\displaystyle S=\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)}$

${\displaystyle M=\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}$

${\displaystyle N=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)}$

로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군, ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle (S,R)}$-쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상

${\displaystyle \phi \colon M\otimes _{S}N\to R}$

${\displaystyle \psi \colon N\otimes _{S}M\to S}$

이 존재한다. 만약 ${\displaystyle N=0}$일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2-범주를 통한 정의

2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 모리타 문맥 ${\displaystyle (R,S,M,N,\phi ,\psi )}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[3]:424–425, Definition 5.1}

• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상(=0-사상)이다.
• ${\displaystyle M\colon R\to S}$와 ${\displaystyle N\colon S\to R}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 1-사상이다.
• ${\displaystyle \phi \colon N\circ M\Rightarrow \operatorname {id} _{R}}$와 ${\displaystyle \psi \colon M\circ N\to \operatorname {id} _{S}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주 ${\displaystyle \operatorname {Bimod} }$를 생각하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Bimod} }$의 대상(=0-사상)은 환이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Bimod} }$의 두 대상 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 사이의 1-사상은 ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 ${\displaystyle (_{S}N_{T})\circ (_{R}M_{S})={}_{R}(M\otimes _{S}N)_{T}}$으로 주어진다.
• ${\displaystyle \operatorname {Bimod} }$의 두 대상 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 사이의 두 1-사상 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{R}N_{S}}$ 사이의 2-사상은 ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$이다.

그렇다면, 2-범주 ${\displaystyle \operatorname {Bimod} }$ 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

성질

삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$은 가환환이다.
• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 가환환이며, ${\displaystyle M=0}$이다.

아이디얼

환 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$ 및 ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.^{[2]:17, Proposition 1.17(1)}

${\displaystyle N\oplus {\mathfrak {S}}}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\subseteq S}$는 ${\displaystyle S}$의 왼쪽 아이디얼이다.
• ${\displaystyle N\subseteq R\oplus M}$은 ${\displaystyle _{R}R\oplus {}_{R}M}$의 ${\displaystyle R}$-부분 가군이며, ${\displaystyle M{\mathfrak {S}}\subseteq N\cap M}$이다.

마찬가지로, 삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.^{[2]:17, Proposition 1.17(2)}

${\displaystyle {\mathfrak {R}}\oplus N}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathfrak {R}}\subseteq R}$는 ${\displaystyle R}$의 오른쪽 아이디얼이다.
• ${\displaystyle N\subseteq M\oplus S}$은 ${\displaystyle M_{S}\oplus S_{S}}$의 ${\displaystyle S}$-부분 가군이며, ${\displaystyle {\mathfrak {R}}M\subseteq N\cap M}$이다.

마찬가지로, 삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.^{[2]:17, Proposition 1.17(3)}

${\displaystyle {\mathfrak {r}}\oplus N\oplus {\mathfrak {s}}}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subseteq R}$는 ${\displaystyle R}$의 양쪽 아이디얼이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\subseteq S}$는 ${\displaystyle S}$의 양쪽 아이디얼이다.
• ${\displaystyle _{R}N_{S}\subseteq {}_{R}M{}_{S}}$은 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$의 ${\displaystyle (R,S)}$-부분 쌍가군이며, ${\displaystyle {\mathfrak {r}}M\subseteq N}$이자 ${\displaystyle M{\mathfrak {s}}\subseteq N}$이다.

뇌터·아르틴 조건

삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:19, Theorem 1.22}

• ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$은 왼쪽 뇌터 환이다.
• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 왼쪽 뇌터 환이며, ${\displaystyle _{R}M}$은 ${\displaystyle R}$-뇌터 가군이다.

삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:19, Theorem 1.22}

• ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$은 오른쪽 뇌터 환이다.
• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 오른쪽 뇌터 환이며, ${\displaystyle M_{S}}$은 ${\displaystyle S}$-뇌터 가군이다.

삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:19, Theorem 1.22}

• ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$은 왼쪽 아르틴 환이다.
• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 왼쪽 아르틴 환이며, ${\displaystyle _{R}M}$은 ${\displaystyle R}$-아르틴 가군이다.

삼각환 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:19, Theorem 1.22}

• ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix}})}$은 오른쪽 아르틴 환이다.
• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$는 오른쪽 아르틴 환이며, ${\displaystyle M_{S}}$은 ${\displaystyle S}$-아르틴 가군이다.

예

자명한 경우

만약 ${\displaystyle M=N=0}$이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&0\\0&S\end{pmatrix}}\cong R\times S}$

만약 ${\displaystyle R=S}$이며, ${\displaystyle M={\mathfrak {m}}\subseteq R}$과 ${\displaystyle N={\mathfrak {n}}\subseteq R}$이 ${\displaystyle R}$의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&{\mathfrak {m}}\\{\mathfrak {n}}&R\end{pmatrix}}\subseteq \operatorname {Mat} (2;R)}$

은 ${\displaystyle R}$ 계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥

환 ${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R}}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.^[1]:486

• ${\displaystyle S=\hom(M_{R},M_{R})}$
• ${\displaystyle {}_{R}N_{S}=\hom({}_{S}M_{R},{}_{R}R_{R})}$
• ${\displaystyle \phi \colon M\otimes _{R}N\to S}$, ${\displaystyle (m\otimes _{R}n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))}$
• ${\displaystyle \psi \colon N\otimes _{S}M\to R}$, ${\displaystyle (n\otimes _{R}m)\mapsto n(m)}$

이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 ${\displaystyle M_{R}}$가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$의 생성 대상이라면, 이는 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$ 사이의 모리타 동치를 정의한다.

역사

모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(영어: Morita context)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.^[5][1]:460