바나흐 고정점 정리

수학에서 바나흐 고정점 정리(-固定點定理, 영어: Banach fixed-point theorem) 또는 축약 사상 정리(縮約寫像定理, 영어: contraction mapping theorem)는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다.

정의

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 축약 사상(縮約寫像, 영어: contraction mapping)은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$이 존재하는 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha d(x,y)}$

바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 축약 사상 ${\displaystyle T\colon X\to X}$은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$인 ${\displaystyle x^{*}\in X}$가 존재하며, 이는 유일하다.

사실, 임의의 ${\displaystyle x_{0}\in X}$에 대하여, 반복 점렬 ${\displaystyle (x_{n}=T^{n}(x_{0}))_{n=0}^{\infty }}$은 ${\displaystyle x^{*}}$로 수렴한다. (여기서 ${\displaystyle T^{n}}$은 ${\displaystyle T}$의 ${\displaystyle n}$번 합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{1},x_{0})}$

증명1 (통상적인 증명):

우선, 임의의 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{n+1},x_{n})&=d(T(x_{n}),T(x_{n-1}))\\&\leq \alpha d(x_{n},x_{n-1})\\&\leq \alpha ^{2}d(x_{n-1},x_{n-2})\\&\vdots \\&\leq \alpha ^{n}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}}$

따라서, 임의의 ${\displaystyle m\geq n\geq 0}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq \sum _{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_{i})\\&\leq \sum _{i=n}^{m-1}\alpha ^{i}d(x_{1},x_{0})\\&\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$는 코시 열이며, 어떤 점 ${\displaystyle x^{*}\in X}$로 수렴한다. 그렇다면, ${\displaystyle T}$가 연속 함수이므로

${\displaystyle T(x^{*})=\lim _{n\to \infty }T(x_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=x^{*}}$

이며, ${\displaystyle x^{*}}$는 ${\displaystyle T}$의 고정점이다.

반대로, ${\displaystyle x^{**}\in X}$가 ${\displaystyle T}$의 고정점이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle d(x^{*},x^{**})=d(T(x^{*}),T(x^{**}))\leq Cd(x^{*},x^{**})}$

이므로

${\displaystyle d(x^{*},x^{**})=0}$

이다. 즉, ${\displaystyle x^{*}=x^{**}}$이다.

증명2 (다른 증명):^[1]

우선, 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여,

${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,T(x))+d(T(x),T(y))+d(T(y),y)\leq d(x,T(x))+\alpha d(x,y)+d(T(y),y)}$

이므로

${\displaystyle d(x,y)\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x,T(x))+d(T(y),y))}$

이다. 특히, ${\displaystyle x,y}$가 모두 ${\displaystyle T}$의 고정점일 경우 ${\displaystyle d(x,y)=0}$이다.

이제, 임의의 ${\displaystyle m,n\geq 0}$에 대하여

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq {\frac {1}{1-\alpha }}(d(x_{m},x_{m+1})+d(x_{n+1},x_{n}))\\&\leq {\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})\end{aligned}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$는 코시 열이며, 어떤 점 ${\displaystyle x^{*}}$으로 수렴한다. 그렇다면, ${\displaystyle Tx^{*}=x^{*}}$이며, 또한 다음이 성립한다.

${\displaystyle d(x^{*},x_{n})=\lim _{m\to \infty }d(x_{m},x_{n})\leq \lim _{m\to \infty }{\frac {\alpha ^{m}+\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})={\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})}$

응용

바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.

• 피카르-린델뢰프 정리
• 음함수 정리

역

Bessaga (1959)

집합 ${\displaystyle X}$ 및 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$ 및 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^[2]

• 만약 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle T^{n}}$의 고정점이 많아야 하나라면, ${\displaystyle T}$가 ${\displaystyle \alpha }$에 대한 축약 사상이 되는, ${\displaystyle X}$ 위의 거리 함수 ${\displaystyle d}$가 존재한다.
• 만약 추가로 ${\displaystyle T^{n}}$이 고정점을 갖는 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다면, ${\displaystyle T}$가 ${\displaystyle \alpha }$에 대한 축약 사상이 되는, ${\displaystyle X}$ 위의 완비 거리 함수 ${\displaystyle d}$가 존재한다.

Hitzler; Seda (2001)

T₁ 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 유일한 고정점 ${\displaystyle x^{*}\in X}$을 갖는다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 점렬 ${\displaystyle (T^{n}(x))_{n=0}^{\infty }}$이 ${\displaystyle x^{*}}$로 수렴한다.

그렇다면, ${\displaystyle T}$가 1/2에 대한 축약 사상이 되는, ${\displaystyle X}$ 위의 완비 초거리 함수 ${\displaystyle d}$가 존재한다.^[3]

일반화

다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.

축약 조건의 약화

n번 합성이 축약 사상인 경우

완비 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$에 대하여, ${\displaystyle T^{n}}$이 축약 사상인 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle T}$는 유일한 고정점을 갖는다.^[4]

증명:

존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, ${\displaystyle T^{n}}$은 유일한 고정점 ${\displaystyle x^{*}\in X}$을 갖는다.

${\displaystyle T^{n}(T(x^{*}))=T(T^{n}(x^{*}))=T(x^{*})}$

이므로, ${\displaystyle T(x^{*})}$ 역시 ${\displaystyle T^{n}}$의 고정점이다. 따라서 ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$이다.

유일성: ${\displaystyle T}$의 고정점은 ${\displaystyle T^{n}}$의 고정점이므로 ${\displaystyle x^{*}}$로 유일하다.

n번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우

완비 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }\subset [0,\infty )}$이 존재한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 및 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq \alpha _{n}d(x,y)}$
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}<\infty }$

그렇다면, ${\displaystyle T}$는 유일한 고정점을 갖는다.^[5]

증명:

바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.

콤팩트 공간에서의 약화

축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.)

구체적으로, 콤팩트 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\neq y}$라면 ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$

그렇다면, ${\displaystyle T}$는 유일한 고정점을 갖는다.^[6]

증명:

함수

${\displaystyle x\mapsto d(x,T(x))}$

가 연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 ${\displaystyle x^{*}\in X}$에서 최솟값을 갖는다. 특히

${\displaystyle d(T(x^{*}),T^{2}(x^{*}))\geq d(x^{*},T(x^{*}))}$

이며, 따라서 ${\displaystyle x^{*}=T(x^{*})}$이다.

준축약 사상

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 준축약 사상(영어: quasicontraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$이 존재하는 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq \alpha \max\{d(x,y),d(x,T(x)),d(y,T(y)),d(x,T(y)),d(y,T(X))\}}$

완비 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 준축약 사상 ${\displaystyle T\colon X\to X}$은 유일한 고정점을 갖는다.^[7]

약축약 사상

거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 약축약 사상(영어: weak contraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \phi \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$가 존재하는 함수 ${\displaystyle T\colon X\to X}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq d(x,y)-\phi (d(x,y))}$
• ${\displaystyle \phi }$는 연속 함수이며, 증가 함수이다.
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(0)=\{0\}}$

완비 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 위의 약축약 사상 ${\displaystyle T\colon X\to X}$은 유일한 고정점을 갖는다.^[8]

거리 공간의 일반화

유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간(영어: rectangular metric space) 또는 뿔 거리 공간(영어: cone metric space) 따위에서의 일반화가 존재한다.

예

비(非)완비 거리 공간에 대한 반례

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간 ${\displaystyle (0,1]\subset \mathbb {R} }$은 완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수

${\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {1}{2}}x}$

는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수

${\displaystyle T\colon x\mapsto {\frac {\pi }{2}}+x-\arctan x}$

를 생각하자. 임의의 ${\displaystyle x\neq y}$에 대하여, 평균값 정리에 따라

${\displaystyle |T(x)-T(y)|=|x-y-\arctan x+\arctan y|={\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}|x-y|<|x-y|}$

${\displaystyle \xi \in (x,y)\cup (y,x)}$

이다. 그러나 ${\displaystyle T}$는 고정점을 가지지 않는다.

모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합

${\displaystyle A=\{0\}\cup \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A_{n}=\{(t,t/n)\colon t\in (0,1]\}}$

을 생각하자.^[9] 이는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$의 닫힌집합이 아니므로 (${\displaystyle (0,1)\not \in A}$) 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 ${\displaystyle T\colon A\to A}$에 대하여, ${\displaystyle T}$의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 ${\displaystyle T(0)=0}$이라면, 0은 ${\displaystyle T}$의 고정점이다. 이제 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여 ${\displaystyle T(0)\in A_{n}}$이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle U\colon A_{n}\cup \{0\}\to A_{n}\cup \{0\}}$

${\displaystyle U\colon x\mapsto {\begin{cases}T(x)&T(x)\in A_{n}\\0&T(x)\not \in A_{n}\end{cases}}}$

그렇다면, ${\displaystyle U}$는 연속 함수이다. ${\displaystyle A_{n}\cup \{0\}}$이 콤팩트 볼록 집합이므로, ${\displaystyle U}$는 고정점 ${\displaystyle x^{*}\in A_{n}\cup \{0\}}$을 가진다. 또한, ${\displaystyle x^{*}\neq 0}$이며 ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$임을 보일 수 있다. (만약 ${\displaystyle x^{*}=0}$이라면,

${\displaystyle U(0)=0\not \in A_{n}}$

이므로 ${\displaystyle T(0)\not \in A_{n}}$이 되어 모순이다. 그렇다면,

${\displaystyle U(x^{*})=x^{*}\in A_{n}}$

이므로, ${\displaystyle T(x^{*})\in A_{n}}$이며, 따라서

${\displaystyle T(x^{*})=U(x^{*})=x^{*}}$

이다.)

역사

스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다.^[10][11]

같이 보기

• 브라우어르 고정점 정리
• 축약 사상