m=1
먼저
일 경우를 증명하자. 편의상
라고 가정하자. 그러면
에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는
가 존재한다.


- 임의의
및
에 대하여, 
이에 따라
가
에서 순증가 함수이며, 또한
이므로,
이다. 따라서 다음을 만족시키는
가 존재한다.
- 임의의
에 대하여, 
따라서, 임의의
에 대하여,
는
에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라
인 유일한
가 존재한다. 이렇게 정의한 함수
는 임의의
에 대하여
를 만족시키며, 특히
이다. 이제
의 연속성을 증명하자. 임의의
및 충분히 작은
에 대하여,
이므로, 다음을 만족시키는
가 존재한다.

- 임의의
에 대하여, 
따라서, 임의의
에 대하여,
이다. 이제
의 유일성을 증명하자. 연속 함수
가 다음을 만족시킨다고 가정하자.


- 임의의
에 대하여, 
그렇다면, 다음과 같은 집합이
의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.

우선 임의의
에 대하여, 다음을 만족시키는
가 존재한다.

- 임의의
에 대하여, 
따라서, 임의의
에 대하여,
이다. 즉,
는
의 열린집합이다. 또한 임의의
에 대하여,
의 연속성에 의하여
이다. 즉,
는
의 닫힌집합이다.
는 연결 집합이며, 또한
이므로,
이다. 즉, 임의의
에 대하여,
이다. 이제
가
함수일 때
의
성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의
및
에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는
가 존재한다.

따라서, 다음이 성립한다.

또한
와
가 연속 함수이므로,
는 연속 미분 가능 함수이다.
m>1
이제
일 경우를 증명하자.
의 원소를
로 쓰고,
와 같이 표기하자. 또한 편의상
이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수
가 존재하게 되는
가 존재한다.



- 임의의
및
및
에 대하여, 
다음과 같은 함수
를 정의하자.

그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의
및
에 대하여 다음이 성립한다.

따라서
이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수
가 존재하게 되는
가 존재한다.


- 임의의
에 대하여, 
이제
를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면,
는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.




이러한
의 유일성은
의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약
가
함수라면, 각
및
에 대하여,
의 양변에
를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

이를 행렬로 표기하면
의 공식을 얻으며, 따라서
역시
함수이다.