스펙트럼 삼조

비가환 기하학에서 스펙트럼 삼조(spectrum三組, 영어: spectral triple)는 스핀 다양체의 개념의 비가환 일반화이다.

정의

스펙트럼 삼조 ${\displaystyle (H,{\mathcal {A}},D)}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle H}$는 복소수 힐베르트 공간이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} (H,H)}$는 ${\displaystyle H}$ 속의 유계 작용소들의 집합이며, 덧셈 · 스칼라곱 · 합성 · 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다 (즉, 복소수 대합 대수를 이룬다).
• ${\displaystyle H}$의 조밀 부분 벡터 공간 ${\displaystyle V\subseteq H}$ 위에 정의된 자기 수반 작용소 ${\displaystyle D\colon V\to H}$.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$에 대하여, ${\displaystyle \|[A,D]\|<\infty }$. 여기서 ${\displaystyle \|\;\|}$는 작용소 노름이다.

예

콤팩트 스핀 다양체 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 스피너 다발의 L² 단면 공간

${\displaystyle H=\Gamma _{\operatorname {L} ^{2}}(\mathrm {S} M)}$

은 분해 가능 복소수 힐베르트 공간을 이룬다. 그 위의 디랙 연산자

${\displaystyle \nabla \colon (\operatorname {dom} \nabla \subseteq H)\to H}$

는 ${\displaystyle H}$의 조밀 부분 벡터 공간 위에 정의된 자기 수반 작용소이다. 또한, ${\displaystyle M}$ 위의 2-르베그 공간은 ${\displaystyle H}$ 위에 점별 곱셈으로 작용한다.

${\displaystyle A=\operatorname {L} ^{2}(M;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle A\times H\to H}$

${\displaystyle (f,\psi )\mapsto (x\mapsto f(x)\psi (x))}$

이에 따라 ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (H,H)}$로 간주할 수 있다. 그렇다면, ${\displaystyle (M,A,\nabla )}$는 스펙트럼 삼조를 이룬다.

역사

알랭 콘이 “스펙트럼 삼조”라는 용어를 1995년에 도입하였다.^[1]