디랙 연산자

미분기하학과 이론물리학에서 디랙 연산자(Dirac演算子, 영어: Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.^{[1][2][3][1]:Chapter 3}

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$
• 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$
• ${\displaystyle E}$ 위의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}$
• ${\displaystyle E\otimes E^{*}}$의 매끄러운 단면 ${\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}$. (흔히 ${\displaystyle T=0}$으로 잡는다.)

그렇다면, 라플라스 연산자

${\displaystyle \Delta =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}$

및 일반화 라플라스 연산자

${\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}$

를 정의할 수 있다.

이 경우, 디랙 연산자

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}$

는

${\displaystyle D^{2}=\Delta }$

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, 영어: Dirac-type operator) 또는 일반화 디랙 연산자(영어: generalized Dirac operator)

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}$

는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,

${\displaystyle D^{2}=\Delta +T}$

를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

등급 디랙 연산자

클리퍼드 대수는 자연스럽게 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 대수를 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\oplus \operatorname {Cliff} ^{-}(V,Q;K)}$

이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.^{[1]:116, Definition 3.36}

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$
• 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E^{\pm }\twoheadrightarrow M}$. 편의상 ${\displaystyle E=E^{+}\oplus E^{-}}$로 표기하자.
• ${\displaystyle E}$ 위의 초접속 ${\displaystyle \nabla \colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)}$
• ${\displaystyle E^{\pm }\otimes (E^{\mp })^{*}}$의 매끄러운 단면 ${\displaystyle T^{\pm }\in \Gamma ^{\infty }(E^{\pm }\otimes {E^{\mp }}^{*})}$ (복부호 동순)

그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자

${\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}$

를 정의할 수 있다.

그렇다면, 등급 디랙 연산자(영어: graded Dirac operator)

${\displaystyle D^{\pm }\colon \Gamma ^{\infty }(E^{\pm })\to \Gamma ^{\infty }(E^{\mp })}$ (복부호 동순)

는

${\displaystyle D^{-}D^{+}=\Delta +T}$

${\displaystyle D^{+}D^{-}=\Delta +T}$

를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

분류

클리퍼드 가군 다발 접속

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 클리퍼드 가군 다발 ${\displaystyle E}$ 위의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla }$가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자.

${\displaystyle \nabla _{X}(a\cdot s)=a\cdot \nabla _{X}s+(\nabla _{X}a)\cdot s\qquad \forall a\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)),\;s\in \Gamma ^{\infty }(E),\;X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}$

여기서 ${\displaystyle \nabla _{X}a}$는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

디랙 연산자의 분류

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$ 위에 디랙 연산자 ${\displaystyle D}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle E}$ 위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}$의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 ${\displaystyle E_{x}}$이 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} _{x}M,g_{x})}$의 왼쪽 가군을 이룬다.^{[1]:116, Proposition 3.38} 구체적으로, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle D(fs)-f(Ds)=(\mathrm {d} f)\cdot s}$

여기서

• ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle M}$ 위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
• ${\displaystyle \mathrm {d} f\in \Omega ^{1}(M)=\Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}\!M)}$은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} ^{*}\!M,g^{-1})\cong \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}$이 존재한다.
• ${\displaystyle \cdot }$은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.

클리퍼드 다발 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}$의 매끄러운 단면은 벡터장 ${\displaystyle X=(\mathrm {d} f)^{\sharp }}$으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, ${\displaystyle E}$는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,

• 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
• 주어진 클리퍼드 가군 다발 ${\displaystyle E}$ + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ 꼴의 아핀 공간이다.
• 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
• 주어진 클리퍼드 가군 다발 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 다발 ${\displaystyle E^{\pm }}$ + 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은 ${\displaystyle \operatorname {End} ^{+}(E)}$ 꼴의 아핀 공간이다.

예

곡선 위의 벡터다발

계량이 주어진 곡선 ${\displaystyle \gamma }$ 위의 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow \gamma }$의 경우, 디랙 연산자는 단순히

${\displaystyle D=\nabla }$

이다.

접다발

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 ${\displaystyle M}$이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발

${\displaystyle \mathrm {T} M\hookrightarrow \mathrm {S} M}$

으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. ${\displaystyle \mathrm {S} M}$은 ${\displaystyle 2^{\lfloor \dim M/2\rfloor }}$차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)}$ 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장

${\displaystyle \gamma \colon \mathrm {T} M\hookrightarrow \operatorname {Cl} (M,g)}$

${\displaystyle \gamma \colon v^{i}\mapsto v^{i}\gamma _{i}}$

이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는

${\displaystyle D=g^{ij}\gamma _{i}\nabla _{j}}$

이다. 즉,

${\displaystyle D^{2}=\{D,D\}/2={\frac {1}{2}}\{\gamma ^{i}\gamma ^{j}\}\nabla _{i}\nabla _{j}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}=\Delta }$

이다.

만약 ${\displaystyle M}$이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

${\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}$

이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle D^{\pm }=(D\upharpoonright \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M))\colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\mp }M))}$ (복부호 동순)

따라서, 이는 ${\displaystyle \mathrm {S} ^{\pm }M}$ 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

호지-드람 연산자

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 미분 형식의 다발

${\displaystyle E=\bigwedge ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M}$

을 생각하자. 즉,

${\displaystyle \Gamma (E)=\Omega (M)}$

이다. 만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 다양체라면, 외미분

${\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}$

의 에르미트 수반

${\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}$

을 정의할 수 있다. 그렇다면,

${\displaystyle (\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=\{\mathrm {d} ,\mathrm {d} ^{\dagger }\}=\Delta }$

이 된다. 여기서 ${\displaystyle \Delta }$는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서

${\displaystyle D=\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger }}$

를 정의하면, ${\displaystyle D}$는 ${\displaystyle E}$ 위의 디랙 연산자를 이룬다.

역사

최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.

같이 보기

• 디랙 방정식
• 열핵
• 클리퍼드 대수