위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, 영어: topological functor)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.^{[1]:407, §1}

정의

원천과 흡입

범주 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 원천(源泉, 영어: source 소스^[*]) ${\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I})}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[2]:125, Definition 1.1(1)}

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}$는 대상이다.
• ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
• ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 사상들의 모임이다.

마찬가지로, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 흡입(吸入, 영어: sink 싱크^[*]) ${\displaystyle (X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I})}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}$는 대상이다.
• ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
• ${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 사상들의 모임이다.

만약 ${\displaystyle I}$가 공집합이라면, 원천 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$은 단순히 대상 ${\displaystyle X}$이며, 만약 ${\displaystyle I}$가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 ${\displaystyle X\to Y}$이다.

시작 원천과 끝 흡입

범주 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 원천 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$ 및 함자 ${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$를 ${\displaystyle \Pi }$-시작 원천(始作源泉, 영어: initial source)이라고 한다.^{[2]:Definition 2.1(1)}

• 임의의 대상 ${\displaystyle X'\in {\mathcal {E}}}$ 및 사상 ${\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)}$ 및 사상족 ${\displaystyle (f'_{i}\colon X'\to Y_{i})_{i\in I}}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\in I\colon \Pi (f_{i})\circ {\hat {g}}=\Pi (f'_{i})}$라면, ${\displaystyle {\hat {g}}=\Pi (g)}$이자 ${\displaystyle \forall i\in I\colon f_{i}\circ g=f'_{i}}$인 ${\displaystyle g\colon X'\to X}$가 유일하게 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f_{i}}{\to }}&Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f_{i}}{\to }}&\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}$

마찬가지로, 그 쌍대 개념인 ${\displaystyle \Pi }$-끝 흡입(-吸入, 영어: ${\displaystyle \Pi }$-final sink)을 정의할 수 있다.

만약 ${\displaystyle I}$가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.

올림

두 범주 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 사이의 함자 ${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 원천 ${\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}}$에서, 만약 ${\displaystyle {\hat {Y}}_{i}=\Pi (Y_{i})}$인 ${\displaystyle Y_{i}\in {\mathcal {E}}}$가 존재한다면, 원천 ${\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}}$를 ${\displaystyle \Pi }$-구조 원천(構造源泉, 영어: ${\displaystyle \Pi }$-structured source)이라고 한다.^{[2]:128, Definition 1.1(2)} 마찬가지로 ${\displaystyle \Pi }$-구조 흡입(構造吸入, 영어: ${\displaystyle \Pi }$-structured sink)을 정의한다.

${\displaystyle \Pi }$-구조 원천 ${\displaystyle ({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}$의 올림은 ${\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}}$이자 ${\displaystyle \forall i\in I\colon \Pi (f_{i})={\hat {f}}_{i}}$인 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-원천 ${\displaystyle (f_{i}\colon {\hat {X}}\to Y_{i})_{i\in I}}$이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle \exists f_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists f_{i}}\\Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}{\hat {X}}\\{\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\\\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \Pi }$-구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다. 시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

임의의 ${\displaystyle \Pi }$-구조 원천 ${\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}$이 만약 시작 원천 ${\displaystyle (X\to Y_{i})_{i\in I}}$을 갖는다면, ${\displaystyle X}$를 원천 ${\displaystyle ({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}}$에 대한 ${\displaystyle {\hat {X}}}$의 시작 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-구조(始作構造, 영어: initial ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-structure)라고 한다. 마찬가지로, ${\displaystyle \Pi }$-구조 흡입에 대한 끝 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-구조(-構造, 영어: final ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-structure)를 정의할 수 있다.

위상 함자

함자 ${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(영어: topological functor)라고 한다.^{[2]:128, Definition 2.1(3)[3]:29–30, §2[4]:4, Definition 2.12}

• 모든 ${\displaystyle \Pi }$-구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
• 모든 ${\displaystyle \Pi }$-구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.^[1]

구체적 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {E}},F)}$에서, 만약 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set} }$가 위상 함자라면, 이를 위상 구체적 범주(位相具體的範疇, 영어: topological concrete category)라고 하며, 흔히 위상 범주(位相範疇, 영어: topological category)로 줄여 부른다.

성질

모든 위상 함자는 충실한 함자이다.^{[2]:129, Theorem 3.1}

위상 함자 ${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
• 모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
• 모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$와 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 사상이며, ${\displaystyle \Pi (X)=\Pi (Y)={\hat {X}}}$이며 ${\displaystyle \Pi (f)=\Pi (g)=\operatorname {id} _{\hat {X}}}$라면, ${\displaystyle X=Y}$이다.

(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)

${\displaystyle {\mathsf {P}}}$가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.

• 완비 범주
• 쌍대 완비 범주
• 정멱 범주
• 쌍대 정멱 범주

위상 함자 ${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$라면, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 역시 ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$이다.

임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$에 대하여, 위상 함자 ${\displaystyle {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set} }$들은 자연 동형 아래 유일하다.^{[5]:6, Corollary 2.2}

예

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.

• 집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$^{[4]:2, Example 2.1(25)}
• 위상 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$^{[4]:2, Example 2.1(1)}
• 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {KolmTop} }$^{[4]:2, Example 2.1(17)}
• T1 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {T_{1}Top} }$^{[4]:2, Example 2.1(18)}
• 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {HausTop} }$^{[4]:2, Example 2.1(19)}
• 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CompHausTop} }$^{[4]:2, Example 2.1(21)}
• 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Unif} }$^{[4]:2, Example 2.1(2)}
• 가측 공간과 가측 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$
• 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Proset} }$^{[4]:2, Example 2.1(14)}
• 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Poset} }$^{[4]:2, Example 2.1(15)}
• 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {\infty pMet} }$^{[6]:233, Proposition B.1.2}
• 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {\infty qpMet} }$^{[6]:233, Proposition B.1.2}

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.

• 차분한 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {SoberTop} }$
• 정규 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {NormTop} }$
• 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {NormHausTop} }$
• 장소와 장소 사상의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Loc} }$
• 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Diff} }$

위상 공간

위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, 영어: initial topology)과 끝 위상(-位相, 영어: final topology)이라고 불린다.

즉, 집합 ${\displaystyle X}$와 위상 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의 시작 위상은 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U)\mid U\in \operatorname {Open} (Y_{i})\}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Open} (Y_{i})}$는 ${\displaystyle Y_{i}}$의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로, 집합 ${\displaystyle X}$와 위상 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의 끝 위상은 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 끝 위상은 다음과 같다.

${\displaystyle U\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in \operatorname {Open} (Y_{i})}$

가측 공간

집합 ${\displaystyle X}$와 가측 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 시작 시그마 대수(영어: initial sigma-algebra)는 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 시작 시그마 대수는

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(S)\mid S\in \Sigma _{i}\}}$

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 ${\displaystyle X}$와 가측 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 끝 시그마 대수(영어: final sigma-algebra)는 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 끝 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$는 다음과 같다.

${\displaystyle S\in \Sigma \iff \forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in \Sigma _{i}}$

균등 공간

집합 ${\displaystyle X}$와 균등 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 시작 균등 구조(영어: initial uniform structure)는 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 시작 균등 구조는

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(E)\mid E\in {\mathcal {E}}_{i}\}}$

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 ${\displaystyle X}$와 균등 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 끝 균등 구조(영어: final uniform structure)는 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 끝 균등 구조 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}^{-1}(E)\in {\mathcal {E}}_{i}}$

유계형 집합

집합 ${\displaystyle X}$와 유계형 집합들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 시작 유계형(영어: initial bornology)은 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 시작 유계형은 다음과 같다.

${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}(B)\in {\mathcal {B}}_{i}}$

마찬가지로, 집합 ${\displaystyle X}$와 유계형 집합들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 끝 유계형(영어: final bornology)은 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 끝 유계형은

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{f_{i}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}_{i}\}}$

로 생성된다.

원순서 집합

집합 ${\displaystyle X}$와 원순서 집합들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 시작 원순서(영어: initial preorder)는 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 시작 원순서는 다음과 같다.

${\displaystyle a\lesssim b\iff \forall i\in I\colon f_{i}(a)\lesssim _{i}f_{i}(b)}$

마찬가지로, 집합 ${\displaystyle X}$와 원순서 집합들의 족 ${\displaystyle (Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}}$ 및 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle I}$는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 ${\displaystyle X}$ 위의 끝 원순서(영어: final preorder)는 ${\displaystyle f_{i}}$들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 끝 원순서 ${\displaystyle \lesssim }$는

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\{(f_{i}(a),f_{i}(b))\colon a\lesssim _{i}b,\;a,b\in Y_{i}\}}$

로 생성된다.

역사

1974년에 호르스트 헤를리히(독일어: Horst Herrlich, 1937~2015)가 도입하였다.^[2]