실수 값 함수

수학에서 실수 값 함수(real-valued function)는 값이 실수인 함수이다. 즉, 정의역의 각 구성원에 실수를 할당하는 함수이다.

질량을 그램 단위로 측정한 것은 이 무게 모음에서 양의 실수로 가는 함수이다. 이 예시에 대한 암시인 "무게 함수"라는 용어는 순수 및 응용 수학에서 사용된다.

실수 변수의 실수 값 함수(일반적으로 실함수라고 함)와 다변수 실함수는 미적분학의 주요 연구 대상이며, 더 일반적으로는 실해석학의 연구 대상이다. 특히, 많은 함수 공간은 실수 값 함수로 구성된다.

대수 구조

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$를 집합 X에서 실수 ${\displaystyle \mathbb {R} }$로 가는 모든 함수의 집합이라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 체이므로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$는 다음 연산을 사용하여 실수 상의 벡터 공간과 가환 대수로 바뀔 수 있다.

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ – 벡터 합
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$ – 덧셈 항등원
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$ – 스칼라배
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ – 점별곱셈

이러한 연산은 X에서 ${\displaystyle \mathbb {R} }$로 가는 부분 정의 함수로 확장된다. 단, 부분 정의 함수 f + g와 f g는 f와 g의 정의역이 공집합이 아닌 교집합을 가질 때만 정의된다. 이 경우, 그들의 정의역은 f와 g의 정의역의 교집합이다.

또한, ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 순서 집합이므로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$에는 다음 부분 순서가 존재한다.

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

이는 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$를 부분 순서환으로 만든다.

가측성

 보렐 함수 문서를 참고하십시오.

보렐 집합의 시그마 대수는 실수에 대한 중요한 구조이다. 만약 X가 자체 시그마 대수를 가지고 있고, 함수 f가 임의의 보렐 집합 B의 원상 f ⁻¹(B)가 그 시그마 대수에 속하도록 한다면, f는 가측이라고 한다. 가측 함수는 위에 § Algebraic structure에서 설명했듯이 벡터 공간과 대수를 형성한다.

더 나아가, X 상의 실수 값 함수의 집합(족)은 실제로 모든 보렐 집합(또는 구간만, 중요하지 않음)의 모든 원상에 의해 생성되는 X 상의 시그마 대수를 정의할 수 있다. 이것은 시그마 대수가 (콜모고로프의) 확률론에서 발생하는 방식이며, 여기서 표본 공간 Ω 상의 실수 값 함수는 실수 값 확률 변수이다.

연속성

실수는 위상 공간이자 완비 거리 공간을 형성한다. 연속 실수 값 함수(이는 X가 위상 공간임을 의미한다)는 위상 공간 이론과 거리 공간 이론에서 중요하다. 최대 최소 정리는 콤팩트 공간에서 정의된 모든 실수 연속 함수에 대해 전역 최대값과 최소값이 존재한다고 명시한다.

거리 공간 개념 자체는 두 변수의 실수 값 함수인 거리 함수로 정의되며, 이는 연속이다. 콤팩트 하우스도르프 공간의 연속 함수 공간은 특히 중요하다. 수렴 수열도 특별한 위상 공간에서 정의된 실수 값 연속 함수로 간주될 수 있다.

연속 함수는 위에 § Algebraic structure에서 설명했듯이 벡터 공간과 대수를 형성하며, 어떤 위상 공간이든 열린 (또는 닫힌) 집합에 의해 생성되는 시그마 대수를 가지므로 가측 함수의 하위 분류이다.

매끄러움

 이 부분의 본문은 매끄러운 함수입니다.

실수는 매끄러운 함수를 정의하는 공역으로 사용된다. 실수 매끄러운 함수의 정의역은 실수 좌표 공간 (이는 다변수 실함수를 생성한다), 위상 벡터 공간^[1], 그들의 열린 부분집합, 또는 매끄러운 다양체가 될 수 있다.

매끄러운 함수 공간 또한 위에 § Algebraic structure에서 설명했듯이 벡터 공간과 대수를 형성하며, 연속 함수 공간의 부분 공간이다.

측도론에서의 등장

집합에 대한 측도는 부분 집합의 시그마 대수에서 정의된 음이 아닌 실수 값 범함수이다.^[2] 측도가 있는 집합 상의 르베그 공간은 앞서 언급한 실수 값 가측 함수로부터 정의되지만, 실제로는 몫공간이다. 더 정확하게 말하자면, 적절한 합 가능 조건을 만족하는 함수가 L^p 공간의 원소를 정의하는 반면, 반대 방향으로는 어떤 f ∈ L^p(X) 및 원자가 아닌 x ∈ X에 대해 값 f(x)는 정의되지 않는다. 그러나 실수 값 L^p 공간은 여전히 위에 § Algebraic structure에서 설명된 구조 중 일부를 가지고 있다. 각 L^p 공간은 벡터 공간이며 부분 순서를 가지고 있으며, p를 변경하는 "함수"의 점별 곱셈이 존재한다. 즉,

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

예를 들어, 두 L² 함수의 점별 곱은 L¹에 속한다.

기타 등장

실수 값 함수와 그 특수한 속성이 사용되는 다른 맥락에는 단조함수 (순서 집합 상에서), 볼록 함수 (벡터 및 아핀 공간 상에서), 조화 및 준조화 함수 (리만 다양체 상에서), 해석 함수 (일반적으로 하나 이상의 실수 변수에 대해), 대수함수 (실수 대수다양체 상에서), 그리고 다항식 (하나 이상의 실수 변수에 대해)이 포함된다.

같이 보기

• 실해석학
• 편미분 방정식, 실수 값 함수의 주요 사용자
• 노름
• 스칼라 (수학)