임의의
에 대하여, 다음과 같은 함수
를 정의하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

그렇다면
가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방
가 존재한다.

즉, 다음이 성립한다.

즉, 다음이 성립한다.

이제
가 단사 함수임을 보이자.
가
를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면,
는 모두
의 고정점이다. 즉,
이며
이다. 이를 위에 대입하면,
를 얻는다. 따라서
는 단사 함수이다.
이제
가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의
에 대하여,
인
을 찾자. 그러려면 임의의
에 대하여,
가
에서 고정점을 가지는 것으로 족하다.
가
를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의
에 대하여
가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실,
를 취하면, 임의의
및
에 대하여, 다음이 성립한다.

즉,
이다. 즉,
는
위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라,
는 고정점
를 갖는다. 따라서,
이며,
는 열린집합이다.
이제 임의의
에 대하여,
가 가역 행렬임을 보이자.
가
을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

즉,
이다. 따라서
는 가역 행렬이다.
이제
,
가
함수임을 보이자. 임의의
에 대하여,
또한
인
를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

즉,
이다. 따라서, 다음이 성립한다.

즉,
이며,
는
함수이다.