유니터리 군

수학에서 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 ${\displaystyle U(n)}$.

정의

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$가 주어졌을 때, 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$가 ${\displaystyle n}$ 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 ${\displaystyle n\times n}$ 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

${\displaystyle \operatorname {U} (n)=\{M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )|M^{\dagger }M=1\}}$

이다.

유니터리 리 대수

유니터리 군 ${\displaystyle U(n)}$은 ${\displaystyle 2n^{2}}$차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)={\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질

군론적 성질

유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

${\displaystyle \lambda 1_{n\times n}\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;|\lambda |=1)}$

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

${\displaystyle \det \colon U(n)\to U(1)}$

인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 ${\displaystyle SU(n)}$이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to SU(n)\hookrightarrow U(n){\xrightarrow {\det }}U(1)\to 1}$

리 이론적 성질

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

${\displaystyle \{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\colon \lambda _{i}\in \operatorname {U} (1)\}\subset \operatorname {U} (n)}$

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

위상수학적 성질

모든 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {U} (n))=1}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z} }$

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

${\displaystyle \operatorname {U} (n)\simeq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$

호프 올뭉치

${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}}$

로 인하여, 만약 ${\displaystyle i<2n}$이라면

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {U} (n+1))}$

이다.^[1]:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^[1]:113

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (n))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}\qquad (i<2n)}$

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

군	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12
U(1)	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
U(2)	ℤ	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ12	ℤ2	ℤ2	ℤ3	ℤ15	ℤ2	(ℤ2)2
U(3)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ6
U(4)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(5)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(6)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ

이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (\infty )}$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {U} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {U} (n)}$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} (\infty ))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}}$

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^{[1]:112, Theorem 1}

${\displaystyle \operatorname {U} (\infty )\simeq \Omega ^{2}\operatorname {U} (\infty )}$

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}$는 ${\displaystyle \operatorname {U} (\infty )}$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, ${\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.^[2]

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {U} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i}$

포함 관계

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$이다.