유한 변형 이론

연속체 역학에서 유한 변형 이론(finite strain theory)은 변형 및 회전이 무한소 변형 이론에 내재된 가정을 무효화할 만큼 충분히 큰 경우를 다룬다. 이 경우 연속체의 변형 전 형상과 변형 후 형상은 상당히 다르므로 둘을 명확하게 구분해야 한다. 이것은 일반적으로 탄성체, 소성 변형 재료 및 기타 유체와 생물학적 연조직의 경우이다.

변위장

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변형 구배 텐서

그림 2. 연속체 물체의 변형.

변형 구배 텐서는 기준 형상과 현재 형상 모두와 관련된 양이며, 한 점 주변의 움직임을 국소적으로 표현한다. 두 가지 유형의 변형 구배 텐서가 정의될 수 있다.

재료 변형 구배 텐서 ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$는 연속체의 운동을 설명하는 매끄럽고 가역적인 매핑 함수 ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$의 기울기를 나타내는 2차 텐서이다. 특히, 매핑 함수 ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$의 연속성은 변형 중에 균열이나 빈 공간이 열리거나 닫히지 않는다는 것을 의미한다. 재료 변형 구배 텐서는 위치 벡터 ${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$를 가진 재료 점에서의 국부 변형, 즉 인접 점에서의 변형을 기준 형상에서 현재 또는 변형된 형상으로 그 점으로부터 방출되는 재료 선 요소를 변환(선형 변환)하여 특징짓는다. 따라서 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$가 매끄러운 역함수를 가진다고 가정하면, ${\displaystyle \mathbf {F} }$는 역함수 ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}\,\!}$를 가지며, 이것이 공간 변형 구배 텐서이다. ${\displaystyle \mathbf {F} }$가 가역적이라는 것은 ${\displaystyle {\text{det}}\mathbf {F} \neq 0}$과 동등하며, 이는 재료가 무한히 압축될 수 없다는 개념에 해당한다.

상대 변위 벡터

변형 전 형상(그림 2)에서 위치 벡터 ${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$를 가진 입자 또는 재료점 ${\displaystyle P}$를 고려한다. 물체가 변위된 후, 새로운 형상에서 ${\displaystyle p}$로 표시된 입자의 새로운 위치는 벡터 위치 ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$로 주어진다. 변형 전 및 변형 후 형상의 좌표계는 편의상 겹쳐 놓을 수 있다.

이제 ${\displaystyle P\,\!}$에 인접한 재료 점 ${\displaystyle Q}$를 고려하며, 위치 벡터는 ${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$이다. 변형된 형상에서 이 입자는 위치 벡터 ${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$로 주어진 새로운 위치 ${\displaystyle q}$를 가진다. 변형 전 및 변형 후 형상에서 입자 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle Q}$를 연결하는 선분 ${\displaystyle \Delta X}$와 ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$가 매우 작다고 가정하면, 이들을 ${\displaystyle d\mathbf {X} }$와 ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$로 표현할 수 있다. 따라서 그림 2에서 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} ),\\\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} ),\\{\text{and}}{\text{ therefore}}&\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}},}$$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {du} }$는 상대 변위 벡터이며, 변형된 형상에서 ${\displaystyle Q}$의 ${\displaystyle P}$에 대한 상대 변위를 나타낸다.

테일러 근사

무한소 요소 ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$에 대해 변위장의 연속성을 가정하면, 점 ${\displaystyle P\,\!}$ 주변에서 테일러 급수 전개를 사용하여 고차항을 무시하고 이웃 입자 ${\displaystyle Q}$의 상대 변위 벡터 성분을 근사할 수 있다. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$ 따라서 이전 방정식 ${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$는 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

변형 구배의 시간 미분

물체의 시간 의존적 변형을 포함하는 계산은 종종 변형 구배의 시간 미분을 계산해야 한다. 이러한 미분의 기하학적으로 일관된 정의는 미분기하학에 대한 탐구를 필요로 하지만^[1] 이 글에서는 이러한 문제를 피한다.

${\displaystyle \mathbf {F} }$의 시간 미분은 다음과 같다. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ 여기서 ${\displaystyle \mathbf {V} }$는 (재료) 속도이다. 오른쪽 항의 미분은 재료 속도 구배를 나타낸다. 미분의 연쇄 법칙을 적용하여 이를 공간 구배로 변환하는 것이 일반적이다. 즉, $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ 여기서 ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$는 공간 속도 구배이고, ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$는 ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$에서의 공간 (오일러) 속도이다. 공간 속도 구배가 시간에 따라 일정하면, 위 방정식은 정확하게 풀 수 있으며 다음과 같다. $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ ${\displaystyle t=0}$에서 ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$이라고 가정한다. 위 지수를 계산하는 여러 방법이 있다.

연속체 역학에서 자주 사용되는 관련 양은 각각 다음과 같이 정의되는 변형률 텐서와 스핀 텐서이다. $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$ 변형률 텐서는 선 요소의 늘어나는 속도를 제공하고, 스핀 텐서는 운동의 회전 또는 소용돌이도 속도를 나타낸다.

유한 변형률을 포함하는 분석에서는 변형 구배의 역함수의 재료 시간 미분이 종종 필요하다 (기준 형상을 고정). 이 미분은 다음과 같다. $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ 위 관계는 ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$의 재료 시간 미분을 취하고 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$임을 확인하여 검증할 수 있다.

변형 구배 텐서의 극분해

그림 3. 변형 구배의 극분해 표현

변형 구배 ${\displaystyle \mathbf {F} }$는 모든 가역적인 2차 텐서와 마찬가지로 극분해 정리를 사용하여 두 개의 2차 텐서(Truesdell과 Noll, 1965)의 곱으로 분해될 수 있다. 즉, 직교 텐서와 양정치 대칭 텐서로, 다음과 같다. $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$ 여기서 텐서 ${\displaystyle \mathbf {R} }$은 고유 직교 텐서이며, 즉 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$ 및 ${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$이고 회전을 나타낸다. 텐서 ${\displaystyle \mathbf {U} }$는 우측 신장 텐서이며, ${\displaystyle \mathbf {V} }$는 좌측 신장 텐서이다. 우측 및 좌측이라는 용어는 각각 회전 텐서 ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$의 오른쪽에 있고 왼쪽에 있음을 의미한다. ${\displaystyle \mathbf {U} }$와 ${\displaystyle \mathbf {V} }$는 모두 양정치이며, 즉 모든 0이 아닌 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$에 대해 ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$이고, 2차의 대칭 텐서이며, 즉 ${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$이다.

이 분해는 변형 전 형상에서의 선 요소 ${\displaystyle d\mathbf {X} }$가 변형된 형상에서의 ${\displaystyle d\mathbf {x} }$로 변형되는 것, 즉 ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$가 먼저 요소에 ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$를 적용하여 늘리고, 즉 ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$, 그 다음 회전 ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$을 적용하여, 즉 ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {R} \,d\mathbf {x} '\,\!}$를 얻거나, 또는 이와 동등하게, 먼저 강체 회전 ${\displaystyle \mathbf {R} }$을 적용하고, 즉 ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$, 그 다음 늘리기 ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$를 적용하여, 즉 ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {V} \,d\mathbf {x} '}$를 얻을 수 있음을 의미한다 (그림 3 참조).

${\displaystyle \mathbf {R} }$의 직교성으로 인해 $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ 이므로 ${\displaystyle \mathbf {U} }$와 ${\displaystyle \mathbf {V} }$는 동일한 고유값 또는 주 신장률을 가지지만, 각각 다른 고유 벡터 또는 주 방향 ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$와 ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$를 가진다. 주 방향들은 다음과 같이 관련된다. $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} }$가 양의 행렬식을 가진 가역 행렬이므로 고유한 이 극분해는 특이값 분해의 한 결과이다.

표면 및 부피 요소의 변환

변형된 형상에서 면적에 대해 정의된 양을 기준 형상에서의 면적에 대한 양으로 변환하고, 그 반대로 변환하기 위해 다음과 같이 표현되는 낸슨 관계를 사용한다. $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$ 여기서 ${\displaystyle da}$는 변형된 형상에서의 영역 면적이고, ${\displaystyle dA}$는 기준 형상에서의 동일한 면적이며, ${\displaystyle \mathbf {n} }$은 현재 형상에서의 면적 요소에 대한 외부 법선이고 ${\displaystyle \mathbf {N} }$은 기준 형상에서의 외부 법선이다. ${\displaystyle \mathbf {F} }$는 변형 구배이며, ${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$이다.

부피 요소의 변환에 대한 해당 공식은 다음과 같다. $${\displaystyle dv=J~dV}$$

낸슨 관계 유도 (참조^[2])

이 공식이 어떻게 유도되는지 알아보기 위해, 기준 및 현재 형상에서의 방향 면적 요소부터 시작한다. $${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} }$$ 요소의 기준 및 현재 부피는 다음과 같다. $${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} }$$ 여기서 ${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$이다.

따라서, $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ 또는, $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ 따라서, $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}}$$ 그러므로 다음을 얻는다. $${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} }$$ 또는, $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$ Q.E.D.

기본 변형률 텐서

변형률 텐서는 IUPAC에 의해 다음과 같이 정의된다.^[3]

"변형 구배 텐서가 회전 텐서 다음에 또는 그 이전에 대칭 텐서로 인수분해될 때 생성되는 대칭 텐서".

순수 회전은 변형 가능한 물체에 어떤 변형률도 유발해서는 안 되므로, 연속체 역학에서는 회전과 무관한 변형 측정값을 사용하는 것이 종종 편리하다. 회전 후 역회전이 아무런 변화도 일으키지 않으므로(${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$) 변형 구배 텐서 ${\displaystyle \mathbf {F} }$에 그 전치 행렬을 곱함으로써 회전을 제외할 수 있다.

역학에서는 여러 회전 무관 변형 구배 텐서(또는 줄여서 "변형 텐서")가 사용된다. 고체역학에서 가장 많이 사용되는 것들은 우측 및 좌측 코시-그린 변형 텐서이다.

코시 변형률 텐서 (우측 코시-그린 변형 텐서)

1839년, 조지 그린은 우측 코시-그린 변형 텐서 또는 그린 변형 텐서(IUPAC은 이 텐서를 코시 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다)^[3]로 알려진 변형 텐서를 도입했으며, 다음과 같이 정의된다.

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

물리적으로, 코시-그린 텐서는 변형으로 인한 거리의 국부적인 변화의 제곱을 제공한다. 즉, ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$의 불변량은 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 자주 사용된다. 가장 일반적으로 사용되는 불변량은 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ 여기서 ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$는 변형 구배 ${\displaystyle \mathbf {F} }$의 행렬식이며 ${\displaystyle \lambda _{i}}$는 우측 (기준) 신장 텐서의 고유 벡터 방향을 따라 초기 정렬된 단위 섬유에 대한 신장률이다 (이들은 일반적으로 좌표계의 세 축과 정렬되지 않는다).

핑거 변형률 텐서

IUPAC은 우측 코시-그린 변형 텐서(해당 문서에서는 코시 변형률 텐서라고 함)의 역함수, 즉 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$를 핑거 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다.^[3] 그러나 이 명칭은 응용 역학에서 보편적으로 받아들여지지 않는다.

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

그린 변형률 텐서 (좌측 코시-그린 변형 텐서)

우측 코시-그린 변형 텐서 공식에서 곱셈 순서를 바꾸면 좌측 코시-그린 변형 텐서가 되며, 다음과 같이 정의된다. $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

좌측 코시-그린 변형 텐서는 종종 요제프 핑거 (1894)의 이름을 따서 핑거 변형 텐서라고 불린다.^[4]

IUPAC은 이 텐서를 그린 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다.^[3]

${\displaystyle \mathbf {B} }$의 불변량 또한 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 사용된다. 일반적인 불변량은 다음과 같이 정의된다. $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ 여기서 ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$는 변형 구배의 행렬식이다.

압축성 재료의 경우, 약간 다른 불변량 집합이 사용된다. $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

피올라 변형률 텐서 (코시 변형 텐서)

앞서 1828년,오귀스탱 루이 코시는 좌측 코시-그린 변형 텐서 ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$의 역으로 정의되는 변형 텐서를 도입했다.^[5] 이 텐서는 또한 IUPAC에 의해 피올라 변형률 텐서^[3]로, 유변학 및 유체동역학 문헌에서는 핑거 텐서^[6]로 불렸다.

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

스펙트럼 표현

세 개의 구별되는 주 신장률 ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$가 있다면, ${\displaystyle \mathbf {C} }$와 ${\displaystyle \mathbf {B} }$의 스펙트럼 분해는 다음과 같다.

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

또한,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

다음 사항에 유의하자. $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ 그러므로 스펙트럼 분해의 고유성은 또한 ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$를 의미한다. 좌측 신장(${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$)은 공간 신장 텐서라고도 불리며, 우측 신장(${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$)은 재료 신장 텐서라고 불린다.

${\displaystyle \mathbf {F} }$가 ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$에 작용하는 효과는 벡터를 ${\displaystyle \lambda _{i}}$만큼 늘리고 새로운 방향 ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$로 회전시키는 것이다. 즉, $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ 유사하게, $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

예시

비압축성 재료의 단축 인장

이것은 표본이 1방향으로 ${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$의 신장률로 늘려지는 경우이다. 부피가 일정하게 유지되면, 다른 두 방향의 수축은 ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$ 또는 ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$가 된다. 그러면: $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

단순 전단

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

강체 회전

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

신장 미분

우측 코시-그린 변형 텐서에 대한 신장의 미분은 많은 고체, 특히 초탄성 재료의 응력-변형률 관계를 유도하는 데 사용된다. 이 미분은 다음과 같다. $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ 그리고 다음 관찰에서 비롯된다. $${\displaystyle \mathbf {C}$$ :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}

변형 텐서의 물리적 해석

${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$를 변형 전 물체에 정의된 직교 좌표계라고 하고, ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$를 변형된 물체에 정의된 다른 시스템이라고 하자. 변형 전 물체 내의 곡선 ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$가 ${\displaystyle s\in [0,1]}$를 사용하여 매개변수화되었다고 하자. 변형된 물체 내의 그 이미지는 ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$이다.

곡선의 변형 전 길이는 다음과 같다. $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ 변형 후 길이는 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ 우측 코시-그린 변형 텐서는 다음과 같이 정의된다는 점에 유의한다. $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ 따라서, $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ 이는 길이 변화가 ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$에 의해 특징지어진다는 것을 나타낸다.

유한 변형률 텐서

변형률의 개념은 주어진 변위가 강체 변위와 국소적으로 얼마나 다른지를 평가하는 데 사용된다.^[7][8][9] 큰 변형에 대한 이러한 변형률 중 하나는 라그랑주 유한 변형률 텐서이며, 그린-라그랑주 변형률 텐서 또는 그린-생브낭 변형률 텐서라고도 불리며 다음과 같이 정의된다.

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

또는 변위 구배 텐서의 함수로 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$ 또는 $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

그린-라그랑주 변형률 텐서는 ${\displaystyle \mathbf {C} }$가 ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$와 얼마나 다른지를 측정한다.

변형된 형상에 참조된 (즉, 오일러 설명) 오일러 유한 변형률 텐서 또는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 정의된다.

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

또는 변위 구배의 함수로 다음과 같다. $${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

라그랑주 및 오일러 유한 변형률 텐서의 유도

변형 측정은 변형 전 형상의 미분 선 요소 ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$와 변형 후 형상(그림 2)의 ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$의 제곱 간의 차이이다. 이 차이가 0이 아니면 변형이 발생한 것이고, 그렇지 않으면 강체 변위가 발생한 것이다. 따라서 다음과 같다.

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}$$

라그랑주 설명에서, 재료 좌표를 참조 프레임으로 사용하면 미분 선 사이의 선형 변환은 다음과 같다.

$${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}$$

그러면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}$$

여기서 ${\displaystyle C_{KL}}$은 우측 코시-그린 변형 텐서 ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$의 성분이다. 그런 다음 이 방정식을 첫 번째 방정식에 대입하면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}}$$ 또는 $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}}$$ 여기서 ${\displaystyle E_{KL}\,\!}$은 그린-생브낭 변형률 텐서 또는 라그랑주 유한 변형률 텐서라고 불리는 2차 텐서의 성분이다. $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

오일러 설명에서, 공간 좌표를 참조 프레임으로 사용하면 미분 선 사이의 선형 변환은 다음과 같다. $${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}$$ 여기서 ${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}}$는 공간 변형 구배 텐서 ${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$의 성분이다. 따라서 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}}$$ 여기서 2차 텐서 ${\displaystyle c_{rs}}$는 코시 변형 텐서 ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$라고 불린다. 그러면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}}$$ 또는 $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}$$

여기서 ${\displaystyle e_{rs}\,\!}$는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서라고 불리는 2차 텐서의 성분이다. $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

라그랑주 및 오일러 유한 변형률 텐서 모두 변위 구배 텐서로 편리하게 표현될 수 있다. 라그랑주 변형률 텐서의 경우, 먼저 변위 벡터 ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)}$를 재료 좌표 ${\displaystyle X_{M}}$에 대해 미분하여 재료 변위 구배 텐서 ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} }$를 얻는다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

이 방정식을 라그랑주 유한 변형률 텐서의 표현식에 대입하면 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}}$$ 또는 $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}$$

마찬가지로, 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

세스-힐 일반화된 변형률 텐서군

인도 공과대학교 카라그푸르의 B. R. 세스는 그린과 알만시 변형률 텐서가 보다 일반적인 변형률 측정의 특수한 경우임을 처음으로 보였다.^[10][11] 이 아이디어는 1968년 로드니 힐에 의해 더 확장되었다.^[12] 세스-힐 변형률 측정값 (도일-에릭센 텐서라고도 함)^[13]은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}$$

${\displaystyle m}$의 다른 값에 대해 다음을 얻는다.

• 그린-라그랑주 변형률 텐서 $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )}$$
• 비오 변형률 텐서 $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I} }$$
• 대수 변형률, 자연 변형률, 실제 변형률, 또는 헨키 변형률 $${\displaystyle \mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C} }$$
• 알만시 변형률 $${\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]}$$

이러한 텐서의 2차 근사는 다음과 같다. $${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ 여기서 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$는 무한소 변형률 텐서이다.

${\displaystyle \mathbf {E} }$ 텐서에 대한 다른 많은 정의가 허용될 수 있으며, 다음 조건들을 모두 만족해야 한다.^[14]

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$는 모든 강체 운동에 대해 사라진다.
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$의 변위 구배 텐서 ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$에 대한 의존성은 연속적이고, 연속적으로 미분 가능하며, 단조롭다.
• 또한 ${\displaystyle \mathbf {E} }$는 ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |\to 0}$일 때 무한소 변형률 텐서 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$로 환원되는 것이 바람직하다.

한 예는 다음 텐서 집합이다. $${\displaystyle \mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n}$$ 이들은 세스-힐 클래스에 속하지 않지만, ${\displaystyle m=0}$에서 어떤 ${\displaystyle n}$ 값에 대해서도 세스-힐 측정값과 동일한 2차 근사를 가진다.^[15]

유한 변형률 텐서의 물리적 해석

라그랑주 유한 변형률 텐서의 대각선 성분 ${\displaystyle E_{KL}}$은 법선 변형률과 관련된다. 예를 들어,

$${\displaystyle E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}}$$

여기서 ${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}}$는 ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\,\!}$ 방향의 법선 변형률 또는 공학적 변형률이다.

라그랑주 유한 변형률 텐서의 비대각선 성분 ${\displaystyle E_{KL}}$은 전단 변형률과 관련된다. 예를 들어,

$${\displaystyle E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}}$$

여기서 ${\displaystyle \phi _{12}}$는 원래 ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$ 방향으로 각각 수직이었던 두 선 요소 사이의 각도 변화이다.

특정 상황, 즉 작은 변위와 작은 변위율에서 라그랑주 유한 변형률 텐서의 성분은 무한소 변형률 텐서의 성분으로 근사될 수 있다.

라그랑주 및 오일러 유한 변형률 텐서의 물리적 해석 유도

변형 전 형상에서 재료점 ${\displaystyle P\,\!}$의 단위 벡터 ${\displaystyle \mathbf {N} }$ 방향의 미분 요소 ${\displaystyle d\mathbf {X} =dX\mathbf {N} }$(그림)에 대한 신장률은 다음과 같이 정의된다.

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}}$$

여기서 ${\displaystyle dx}$는 미분 요소 ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$의 변형된 크기이다.

마찬가지로, 변형된 형상에서 재료점 ${\displaystyle p\,\!}$의 단위 벡터 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 방향의 미분 요소 ${\displaystyle d\mathbf {x} =dx\mathbf {n} }$(그림)에 대한 신장률은 다음과 같이 정의된다. $${\displaystyle {\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}}$$

신장률의 제곱은 다음과 같이 정의된다. $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}}$$

다음 사실을 알면, $${\displaystyle (dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}}$$ 다음과 같다. $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}}$$ 여기서 ${\displaystyle N_{K}}$와 ${\displaystyle N_{L}}$은 단위 벡터이다.

어떤 방향 ${\displaystyle \mathbf {N} }$에서의 법선 변형률 또는 공학적 변형률 ${\displaystyle e_{\mathbf {N} }}$은 신장률의 함수로 표현될 수 있다.

$${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1}$$

따라서 재료점 ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ 방향에서의 법선 변형률은 신장률의 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}}$$

${\displaystyle E_{11}}$에 대해 풀면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}}$$

원래 수직이었고 각각 주 방향 ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$로 향한 두 선 요소 ${\displaystyle d\mathbf {X} _{1}}$ 및 ${\displaystyle d\mathbf {X} _{2}}$ 사이의 전단 변형률 또는 각도 변화도 신장률의 함수로 표현될 수 있다. 변형된 선 ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$과 ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$ 사이의 스칼라곱에서 다음을 얻는다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}}$$

여기서 ${\displaystyle \theta _{12}}$는 변형된 형상에서 선 ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$과 ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$ 사이의 각도이다. ${\displaystyle \phi _{12}}$를 원래 수직이었던 두 선 요소 사이의 전단 변형률 또는 각도 감소로 정의하면 다음과 같다.

$${\displaystyle \phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}}$$ 따라서, $${\displaystyle \cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}}$$ 그러면 $${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}}$$

또는

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}}$$

적합성 조건

 이 부분의 본문은 Compatibility (mechanics)입니다.

연속체 역학에서 적합성 문제는 물체에 허용되는 단일 값 연속 필드를 결정하는 것을 포함한다. 이러한 허용 조건은 변형 후 물체에 비물리적인 간극이나 겹침이 발생하지 않도록 한다. 대부분의 이러한 조건은 단일 연결된 물체에 적용된다. 다중 연결된 물체의 내부 경계에는 추가 조건이 필요하다.

변형 구배의 적합성

단일 연결된 물체에 대한 적합한 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다. $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$

우측 코시-그린 변형 텐서의 적합성

단일 연결된 물체에 대한 적합한 ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ 필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다. $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ 이들이 리만-크리스토펠 곡률 텐서의 혼합 성분임을 보일 수 있다. 따라서 ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$-적합성을 위한 필요 조건은 변형의 리만-크리스토펠 곡률이 0이어야 한다는 것이다.

좌측 코시-그린 변형 텐서의 적합성

3차원 좌측 코시-그린 변형 텐서에 대한 일반적인 충분 조건은 아미트 아차랴가 유도했다.^[16] 2차원 ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ 필드에 대한 적합성 조건은 재닛 블루메가 발견했다.^[17]

같이 보기

• 무한소 변형 이론
• 곡선좌표계
• 피올라-키르히호프 응력 텐서, 유한 변형에 대한 응력 텐서.
• 응력 측정
• 변형률 분할