종순 바나흐 대수

함수해석학에서 종순 바나흐 대수(從順Banach代數, 영어: amenable Banach algebra)는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명군인 바나흐 대수이다. 종순 폰 노이만 대수들은 완전히 분류되었으며, 상당량의 종순 C* 대수의 분류 역시 완결되었다.^[1][2]

정의

바나흐 쌍가군

두 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ 위의 바나흐 쌍가군 ${\displaystyle _{A}M_{B}}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle (A,B)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{A}M_{B}}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 복소수 바나흐 공간 구조 ${\displaystyle (M,\|\|)}$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \sup _{a\in A\setminus \{0\},\;m\in M\setminus \{0\}}\|am\|/(\|a\|\|m\|)<\infty }$

${\displaystyle \sup _{b\in B\setminus \{0\},\;m\in M\setminus \{0\}}\|mb\|/(\|m\|\|b\|)<\infty }$

이 경우, 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle M^{*}}$은 자연스럽게 ${\displaystyle (B,A)}$-바나흐 쌍가군을 이룬다.

유계 미분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle (A,A)}$-바나흐 쌍가군 ${\displaystyle _{A}M_{A}}$

${\displaystyle M}$값의 유계 미분(영어: bounded derivation)은 다음 두 조건을 만족시키는 복소수 선형 변환

${\displaystyle \partial \colon A\to M}$

이다.

• ${\displaystyle \partial }$은 미분이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 대하여 ${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a\partial b}$이다.
• 유계 작용소이다.

종순 바나흐 대수

복소수 바나흐 대수 ${\displaystyle A}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 종순 바나흐 대수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle (A,A)}$-바나흐 쌍가군 ${\displaystyle _{A}M_{A}}$ 및 유계 미분 ${\displaystyle \partial \colon A\to M^{*}}$에 대하여, ${\displaystyle \partial =[-,\phi ]}$가 되는 ${\displaystyle \phi \in M^{*}}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle M^{*}}$는 ${\displaystyle M}$의 연속 쌍대 공간이다.)

여기서, 유계 미분들의 군은 1차 유계 호흐실트 순환들의 군으로, ${\displaystyle [-,\phi ]}$ 꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 호흐실트 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 즉, 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건이다.

만약 위 조건을 ${\displaystyle M=A}$인 경우에만 성립하게 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, 영어: weakly amenable Banach algebra)의 개념을 얻는다.

성질

폰 노이만 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 종순 바나흐 대수이다.
• (초유한성 영어: hyperfiniteness) 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 ${\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots \subseteq A}$가 존재하여, 각 ${\displaystyle A_{i}}$들은 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이며, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}}$는 ${\displaystyle A}$의 (노름 거리 위상에서의) 조밀 집합을 이룬다.

종순 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(영어: injective von Neumann algebra) 또는 초유한 폰 노이만 대수(영어: hyperfinite von Neumann algebra)라고도 불린다.

C* 대수 ${\displaystyle A}$의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 종순 바나흐 대수이다.
• ${\displaystyle A}$로 생성되는 폰 노이만 대수는 종순 바나흐 대수이다.

종순 C* 대수는 핵 C* 대수(영어: nuclear C*-algebra)라고도 불린다.

모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.^{[3]:306; §4}

예

모든 가환 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.^{[1]:79, Theorem 2.3.7} 모든 유한 차원 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.^{[1]:77, Corollary 2.3.2}

역사

종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다.^[4] 이후 알랭 콘이 폰 노이만 대수의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.^[5]