준마팅게일

확률론에서 준마팅게일(準martingale, 영어: semimartingale)은 국소 마팅게일과 유계 변동 확률 과정의 합이다. 준마팅게일 조건은 이토 적분이 잘 정의될 필요 충분 조건이다.

정의

실수 값의 준마팅게일

다음이 주어졌다고 하자.

• 여과 확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in [0,\infty ]}}$

그렇다면, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in [0,\infty )}}$ 위의 마팅게일의 개념을 정의할 수 있다. 이는 순응 확률 과정의 일종이다.

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in [0,\infty ]}}$ 위의 과정 ${\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,\infty )}}$에 대하여, 만약 어떤 정지 시간의 열

${\displaystyle (\tau _{i}\colon \Omega \to [0,\infty ))_{i\in \mathbb {N} }}$

이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 국소 마팅게일이라고 한다.

• 거의 확실하게 ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }t_{i}=\infty }$이다.
• 모든 ${\displaystyle i}$에 대하여, 정지화 ${\displaystyle X^{|\tau _{i}}}$는 마팅게일이다.

순응 확률 과정 ${\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,\infty )}}$이 다음과 같은 꼴을 갖는다면, 준마팅게일이라고 한다.

• 어떤 국소 마팅게일 ${\displaystyle (M_{t})_{t\in [0,\infty )}}$과 거의 확실하게 국소 유계 변동 함수이자 카들라그 함수인 확률 과정 ${\displaystyle (A_{t})_{t\in [0,\infty )}}$의 합 ${\displaystyle X=M+A}$으로 표현될 수 있다. (즉, 임의의 ${\displaystyle 0\leq T<\infty }$에 대하여, ${\displaystyle (A_{t})_{t\in [0,T]}}$는 거의 확실하게 유계 변동 함수이다.)

다양체 값의 준마팅게일

임의의 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle M}$ 값의 확률 과정

${\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to M)_{t\in [0,\infty )}}$

이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$에 대하여 ${\displaystyle f(X_{t})}$가 준마팅게일이라면, ${\displaystyle X_{t}}$를 준마팅게일이라고 한다.

성질

임의의 전단사 증가 함수

${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$

가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle X_{t}}$가 준마팅게일이라면, ${\displaystyle X_{f(t)}}$ 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 임의의 정지 시간에 대한 정지화 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 합과 곱 역시 준마팅게일이다. 보다 일반적으로, 준마팅게일의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ 함수에 대한 값은 준마팅게일이다.

예

위너 확률 과정 ${\displaystyle W_{t}}$에 대하여, 정지 시간

${\displaystyle \tau =\inf\{t\colon W_{t}\geq 1\}}$

을 생각하자. 그렇다면,

${\displaystyle X_{t}={\begin{cases}W_{t/(1-t)}^{|\tau }&0\leq t<1\\1&1\leq t\end{cases}}}$

를 생각하자. 이는 거의 확실하게 연속 함수이지만, ${\displaystyle t=1}$에서 마팅게일이 아니다. 그러나 이는 국소 마팅게일이며, 따라서 준마팅게일이다.

외부 링크

• “Semi-martingale”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.