합집합과 교집합
같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합
속의 필터들의 사슬
에 대하여, 합집합
은 필터를 이룬다. 그러나 교집합
는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.
예를 들어, 자연수 집합
에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대
,
를 추가하였을 때,

는 필터이지만,

는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.
격자
격자
의 부분 집합
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
는 순서 아이디얼이다.
- 다음 세 조건이 성립한다.
- 공집합이 아니다.
에 대하여
이다.
및
에 대하여
이다.
인 이음 반격자 준동형
가 존재한다.
격자
의 부분 집합
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
는 필터이다.
- 다음 세 조건이 성립한다.
- 공집합이 아니다.
에 대하여
이다.
및
에 대하여
이다.
인 만남 반격자 준동형
가 존재한다.
격자
의 부분 집합
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
는 소 순서 아이디얼이다.
는 소 필터이다.
인 격자 준동형
가 존재한다.
필터 격자와 순서 아이디얼 격자
일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자
의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합
은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합
의 상한과 하한은 다음과 같다.


쌍대적으로, 유계 만남 반격자
의 필터들의 부분 순서 집합
은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합
의 상한과 하한은 다음과 같다.


반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.[1]:53, Theorem 42
격자
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[1]:111, Corollary 104
- 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합
은 분배 격자이다.
- 필터들의 부분 순서 집합
은 분배 격자이다.
은 분배 격자이다.
볼록 부분 격자
원순서 집합
의 부분 집합
가 다음 두 조건을 만족시키면, (순서) 볼록 집합(영어: (order) convex set)이라고 한다.
- 임의의
및
에 대하여, 만약
라면, 
격자
의 순서 아이디얼
와 필터
의 교집합
는 항상
의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.[1]:34, Lemma 9
격자
의 순서 아이디얼
와 필터
가 주어졌다고 하자.
와
가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다.
및
이 주어졌고,
라고 하자. 그렇다면
가 하집합이므로
이며,
가 상집합이므로
이다. 따라서,
는
의 볼록 부분 격자이다.
반대로,
의 볼록 부분 격자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 상향 집합이자 하향 집합이다.
를 포함하는 최소의 순서 아이디얼
및 필터
를 생각하자. 그렇다면, 자명하게
이다. 또한,
가 볼록 부분 격자이므로
이다. 따라서
는 순서 아이디얼
와 필터
의 교집합이다.
이제,
의 볼록 부분 격자
가 순서 아이디얼
와 필터
의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라,
를 보이면 족하다.
이므로
이다. 반대로
라고 하자. 임의의
를 취하자. 그렇다면,
이므로
이며,
이므로
이다. 즉,
이다.
이므로,
이다.
불 대수
불 대수
는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.


또한, 불 대수
는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

그렇다면,
의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.
불 대수
위의 필터
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 극대 필터이다.
- 임의의
에 대하여,
이거나
이다.
는 극대 순서 아이디얼이다.
그물의 유도 필터
집합
와 상향 원순서 집합
및 그물
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 꼬리들의 집합

은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

를 그물
의 유도 필터(영어: derived filter)라고 한다.
마찬가지로, 집합
와 하향 원순서 집합
및 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 머리들의 집합

은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

를
의 유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다.
수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.
필터에 대응되는 그물
모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.[2]
집합
의 멱집합
의 부분 집합
가 주어졌을 때, 집합

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

만약
가 상향 원순서 집합이며
이라면
역시 상향 원순서 집합이며,


는 그물을 이룬다.
반대로,
가 하향 원순서 집합이며
라면
역시 하향 원순서 집합이며,


는 그물을 이룬다.
멱집합 위의 필터
집합
의 멱집합
위의 필터
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 극대 필터이다.
이며, 임의의
에 대하여, 만약
라면
이거나
이다.
이며, 임의의
에 대하여,
이거나
이다.
따라서, 집합
의 멱집합
위의 극대 필터
는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합
는 "대부분"이거나 (
), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 (
).
한원소 부분 집합에 대한 주 필터

는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.