칠차 방정식

칠차 방정식(septic equation)은 최고차항의 차수가 7인 다항 방정식을 뜻한다.

y = x⁷ - 14x⁵ + 49x³ - 36x
7차 다항식의 그래프는 7개의 실근(𝑥축과의 교차점)과 6개의 극점을 갖는다. 극값(최소값과 최대값)의 개수와 세로 위치에 따라, 7차 다항식은 중복을 포함하여 7개, 5개, 3개, 또는 1개의 실근을 가질 수 있다. 복소수 비실근의 개수는 7에서 실근의 개수를 뺀 값이다.

따라서 칠차방정식은 기수차 방정식이다.

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,a\neq 0}$

칠차방정식의 판별식

소행렬식의 라플라스 전개로 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 칠차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

근과 계수와의 관계

 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,a\neq 0}$에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼 수 있다.

칠차방정식에 존재하는 7개의 근을 예약하여, ${\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta ,\eta }$라고 하면, 1개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{1!\cdot (7-1)!}}={{7\cdot {\cancel {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \over {1!\cdot {\cancel {(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}}}={7 \over 1}=7}$

2개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{2!\cdot (7-2)!}}={{7\cdot 6\cdot {\cancel {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \over {2!\cdot {\cancel {(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6} \over {2\cdot 1}}={42 \over 2}=21}$

3개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{3!\cdot (7-3)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot {\cancel {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \over {3!\cdot {\cancel {(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6\cdot 5} \over {3\cdot 2\cdot 1}}={210 \over 6}=35}$

4개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{4!\cdot (7-4)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}} \over {4!\cdot {\cancel {(3\cdot 2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot {\cancel {4}}} \over {{\cancel {4}}\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={210 \over 6}=35}$이다.

5개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{5!\cdot (7-5)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot {\cancel {2\cdot 1}}} \over {5!{\cancel {\cdot (2\cdot 1)}}}}={{7\cdot 6\cdot {\cancel {5\cdot 4\cdot 3}}} \over {{\cancel {5\cdot 4\cdot 3\cdot }}2\cdot 1}}={{7\cdot 6} \over {2\cdot 1}}={42 \over 2}=21}$이다.

6개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{6!\cdot (7-6)!}}={{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}} \over {6!\cdot {\cancel {(1)}}}}={{7\cdot {\cancel {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}} \over {{\cancel {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}\cdot 1}}={7 \over 1}=7}$이다.

7개씩 출현하는 조합의 수는 ,

${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {7!}{7!\cdot (7-7)!}}={{7!} \over {7!\cdot 0!}}={1 \over 1}=1}$이된다.

칠차방정식의 근의 정보에 대한 접근

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0}$

${\displaystyle x^{7}+{b \over a}x^{6}+{c \over a}x^{5}+{d \over a}x^{4}+{e \over a}x^{3}+{f \over a}x^{2}+{g \over a}x+{h \over a}=0,}$

${\displaystyle \qquad x=y-{b \over \mathbf {7} a}}$ (zipping) 취른하우스 변형

${\displaystyle y^{7}+py^{5}+qy^{4}+ry^{3}+sy^{2}+ty+u=0}$

같이 보기

• 일차 방정식
• 이차 방정식
• 삼차 방정식
• 사차 방정식
• 오차 방정식
• 육차 방정식