콤팩트 생성 공간

위상수학에서 콤팩트 생성 공간(compact生成空間, 영어: compactly generated space) 또는 k-공간(영어: k-space)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, k-연속 함수라고 하자.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle K}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle t\colon K\to X}$에 대하여, ${\displaystyle f\circ t\colon K\to Y}$는 연속 함수이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A}$가 다음 조건을 만족시키면 k-닫힌집합이라고 하자.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle K}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle t\colon K\to X}$에 대하여, ${\displaystyle t^{-1}(A)}$는 닫힌집합이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 콤팩트 생성 공간이라고 한다.^{[1]:182, Prop. 5.9.1[2]:39}

• ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 k-연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다.
• ${\displaystyle X}$의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle X}$는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, ${\displaystyle X\cong \left(\bigsqcup _{i\in I}K_{i}\right)/{\sim }}$인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 ${\displaystyle \{K_{i}\}_{i\in I}}$ 및 ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}K_{i}}$ 위의 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$가 존재한다.
• 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 ${\displaystyle \{K_{i}\}_{i\in I}}$ 및 함수들의 집합 ${\displaystyle \{f_{i}\colon K_{i}\to X\}_{i\in I}}$이 존재한다.
  • 임의의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle A}$가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여 ${\displaystyle f_{i}^{-1}(A)\subseteq K_{i}}$가 닫힌집합인 것이다.
• ${\displaystyle X}$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다.

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {Top_{k}} }$라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top} \to \operatorname {Top_{k}} }$

이를 합성하여 얻는 함자 ${\displaystyle \operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top_{k}} }$는 범주의 동치를 이룬다.

성질

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 콤팩트 생성 공간이다.^{[1]:183, 5.9.2a[3]:231, Theorem 7.13} 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.^{[1]:183, 5.9.2b[3]:231, Theorem 7.13[4]} 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.^{[1]:139, Exercise 4.7.10}

콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산

포함 관계

${\displaystyle \operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top} }$

에 따라, ${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$는 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$의 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반

${\displaystyle k\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CGTop} }$

을 콤팩트 생성화(영어: kaonization)라고 한다. 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 콤팩트 생성화 ${\displaystyle k(X)}$는 집합으로서 ${\displaystyle X}$와 같지만 ${\displaystyle X}$보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, ${\displaystyle k(X)}$의 닫힌집합은 ${\displaystyle X}$의 k-닫힌집합이다.

${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$는 (${\displaystyle \operatorname {Top} }$와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. ${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$에서의 쌍대극한은 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$와 같으며, ${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$에서의 극한은 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, ${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다.

${\displaystyle X\times _{\operatorname {CGTop} }Y=k(X\times _{\operatorname {Top} }Y)}$

${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$는 (${\displaystyle \operatorname {Top} }$와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자.

• 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq Y}$ 및 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle K}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle t\colon K\to X}$에 대하여, ${\displaystyle \{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\}}$.

만약 ${\displaystyle X}$가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {CGTop} }$에서의 지수 대상 ${\displaystyle Y^{X}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$의 콤팩트 생성화이다.

${\displaystyle (Y^{X})_{\operatorname {CGTop} }=k({\mathcal {C}}(X,Y))}$

콤팩트 생성 하우스도르프 공간

위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CGHaus} }$ 및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {CGWH} }$를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.

역사

이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다.^[5] 이후 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.^{[1]:199[6][7][8]} 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.^[9]

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다.

비가산 기수 ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa }}$는 콤팩트 생성 공간이 아니다.^{[1]:184[3]:240, Exercise 7J(b)}