쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 ${\displaystyle \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}}$로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) ${\displaystyle \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*}}$가 멱집합 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (X)}$ 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

${\displaystyle {\mathsf {k}}\colon S\mapsto \operatorname {cl} (S)}$

${\displaystyle {\mathsf {c}}\colon S\mapsto X\setminus S}$

즉, ${\displaystyle {\mathsf {k}}}$는 폐포 연산이며, ${\displaystyle {\mathsf {c}}}$는 여집합 연산이다.

이제, ${\displaystyle \operatorname {Pow} (X)}$ 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.

${\displaystyle s\sim t\iff \forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad (s,t\in \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*})}$

이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 ${\displaystyle \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*}/\sim }$를 ${\displaystyle X}$의 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)라고 한다.

분류

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.^{[1][2]:9, Theorem 1.1[3]:Theorem 1.1[4]} (${\displaystyle \epsilon }$은 길이 0의 문자열이다.)

• (폐포의 멱등성) ${\displaystyle {\mathsf {kk}}={\mathsf {k}}}$
• (여집합의 대합성) ${\displaystyle {\mathsf {cc}}=\epsilon }$
• (폐포의 내부의 정칙성) ${\displaystyle {\mathsf {kckckck}}={\mathsf {kck}}}$
  • 편의상, 내부 연산 ${\displaystyle {\mathsf {i}}={\mathsf {ckc}}}$를 정의하면, 이는 ${\displaystyle {\mathsf {ikik}}={\mathsf {ik}}}$와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.

이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, 영어: Kuratowski 14-set theorem)라고 한다. 이 모노이드를 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.

문자열	설명	${\displaystyle S}$ 위의 작용	문자열	설명	${\displaystyle S}$ 위의 작용
${\displaystyle \epsilon }$	원래 집합	${\displaystyle S}$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	여집합	${\displaystyle X\setminus S}$
${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	폐포	${\displaystyle \operatorname {cl} S}$	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$	폐포의 여집합	${\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} S}$
${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	내부	${\displaystyle \operatorname {int} S}$	${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$	내부의 여집합	${\displaystyle X\setminus \operatorname {int} S}$
${\displaystyle {\mathsf {kckc}}}$	내부의 폐포	${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {int} S)}$	${\displaystyle {\mathsf {ckckc}}}$	내부의 폐포의 여집합	${\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} (\operatorname {int} S)}$
${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	폐포의 내부	${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {cl} S)}$	${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$	폐포의 내부의 여집합	${\displaystyle X\setminus \operatorname {int} (\operatorname {cl} S)}$
${\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}}$	내부의 폐포의 내부	${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))}$	${\displaystyle {\mathsf {kckckc}}}$	내부의 폐포의 내부의 여집합	${\displaystyle X\setminus \operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))}$
${\displaystyle {\mathsf {kckck}}}$	폐포의 내부의 폐포	${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))}$	${\displaystyle {\mathsf {ckckck}}}$	폐포의 내부의 폐포의 여집합	${\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))}$

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.^{[2]:11, Figure 1.1}

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {int} (\operatorname {cl} S)&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))&\subset &\operatorname {cl} S\\\cup &&\cup \\\operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} S)&&\cup \\\cup \\\operatorname {int} S&&\subset &&S\end{matrix}}}$

위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드

임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.^{[2]:12, Theorem 2.1}

• ㈎ ${\displaystyle M_{\text{K}}}$ (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
• ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 ${\displaystyle {\mathsf {kckck}}={\mathsf {kckc}}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 ${\displaystyle {\mathsf {kckck}}={\mathsf {ckck}}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 ${\displaystyle {\mathsf {ckck}}={\mathsf {kckc}}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 ${\displaystyle {\mathsf {kck}}={\mathsf {ck}}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
• ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 ${\displaystyle {\mathsf {k}}=\epsilon }$로 생성되는 합동 관계에 대한 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
• ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.

㈎		㈏		㈐		㈑		㈒		㈓		㈔
${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	${\displaystyle \epsilon }$
${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$
${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$
${\displaystyle {\mathsf {kckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckckc}}}$
${\displaystyle {\mathsf {kckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckckc}}}$			${\displaystyle {\mathsf {kckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckckc}}}$			${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$
${\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kckckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$
${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$

성질

조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합

${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 원소 ${\displaystyle s\in M_{\text{K}}}$에 대하여, ${\displaystyle s(S)=\varnothing }$이 되는 특별한 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

문자열 ${\displaystyle s}$	${\displaystyle s(S)=\varnothing }$인 부분 집합 ${\displaystyle S}$	문자열 ${\displaystyle s}$	${\displaystyle s(S)=\varnothing }$인 부분 집합 ${\displaystyle S}$
${\displaystyle \epsilon }$	공집합	${\displaystyle {\mathsf {c}}}$	공집합의 여집합
${\displaystyle {\mathsf {k}}}$		${\displaystyle {\mathsf {kc}}}$
${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	조밀한 곳이 없는 집합	${\displaystyle {\mathsf {ckckc}}}$	조밀한 곳이 없는 집합의 여집합
${\displaystyle {\mathsf {kckck}}}$		${\displaystyle {\mathsf {kckckc}}}$
${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	조밀 집합의 여집합	${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$	조밀 집합
${\displaystyle {\mathsf {kckc}}}$		${\displaystyle {\mathsf {kck}}}$
${\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}}$		${\displaystyle {\mathsf {ckckck}}}$

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.

조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합

조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합

열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합

마찬가지로, ${\displaystyle M_{\text{K}}}$의 원소 ${\displaystyle s\in M_{\text{K}}}$에 대하여, ${\displaystyle s(S)=S}$가 되는 특별한 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$을 생각할 수 있다. ${\displaystyle s}$가 ${\displaystyle {\mathsf {c}}}$를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.

문자열 ${\displaystyle s}$	${\displaystyle s(S)=S}$인 부분 집합 ${\displaystyle S}$	문자열 ${\displaystyle s}$	${\displaystyle s(S)=S}$인 부분 집합 ${\displaystyle S}$
${\displaystyle \epsilon }$	(임의의 부분 집합)
${\displaystyle {\mathsf {ckc}}}$	열린집합	${\displaystyle {\mathsf {k}}}$	닫힌집합
${\displaystyle {\mathsf {ckck}}}$	정칙 열린집합	${\displaystyle {\mathsf {kckc}}}$	정칙 닫힌집합
${\displaystyle {\mathsf {ckckckc}}}$		${\displaystyle {\mathsf {kckck}}}$

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

	⇗	정칙 열린집합 ⇒ 열린집합	⇘
열린닫힌집합				부분 집합
	⇘	정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합	⇗

만약 ${\displaystyle s}$가 ${\displaystyle {\mathsf {c}}}$를 홀수 개 포함한다면, ${\displaystyle s(S)=S}$인 것은 ${\displaystyle S=X=\varnothing }$인 경우 밖에는 불가능하다.

증명:

${\displaystyle X\neq \varnothing }$이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.

• (0) ${\displaystyle {\mathsf {c}}}$

  당연히 불가능하다.

• (1) ${\displaystyle {\mathsf {kc}}={\mathsf {ci}}}$

  이 경우, ${\displaystyle \varnothing =S\setminus S=S\setminus {\mathsf {ci}}(S)={\mathsf {i}}(S)}$이다. 따라서 ${\displaystyle S={\mathsf {ci}}(S)={\mathsf {c}}(\varnothing )=X}$이어야 한다. 그런데 ${\displaystyle X=S={\mathsf {ci}}(X)=\varnothing }$이므로 이는 불가능하다.

• (1′) ${\displaystyle {\mathsf {kck}}={\mathsf {kic}}={\mathsf {cik}}}$

  이 경우, ${\displaystyle S}$는 정칙 닫힌집합이므로 ${\displaystyle S={\mathsf {cik}}(S)={\mathsf {ci}}(S)}$인데, 이는 경우 (1)이다.

• (1″) ${\displaystyle {\mathsf {kckckc}}={\mathsf {kikc}}={\mathsf {ciki}}}$

  이 경우, ${\displaystyle S}$는 정칙 닫힌집합이므로 ${\displaystyle S={\mathsf {ciki}}(S)={\mathsf {ci}}(S)}$인데, 이는 경우 (1)이다.

• (2) ${\displaystyle {\mathsf {ck}}}$

  당연히 불가능하다.

• (2′) ${\displaystyle {\mathsf {ckckc}}={\mathsf {ikc}}={\mathsf {cki}}}$

  이 경우 ${\displaystyle S}$는 정칙 열린집합이므로, ${\displaystyle S={\mathsf {cki}}(S)={\mathsf {ck}}(S)}$인데, 이는 경우 (2)이다.

• (2″) ${\displaystyle {\mathsf {ckckck}}={\mathsf {ikic}}={\mathsf {ckik}}}$

  이 경우 ${\displaystyle S}$는 정칙 열린집합이므로, ${\displaystyle S={\mathsf {ckik}}(S)={\mathsf {ck}}(S)}$인데, 이는 경우 (2)이다.

예

실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 ${\displaystyle M_{\text{K}}}$이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.

${\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup \left([4,5]\cap \mathbb {Q} \right)\subseteq \mathbb {R} }$

그렇다면, ${\displaystyle M_{\text{K}}}$는 ${\displaystyle S}$ 위에 서로 다르게 작용한다.

역사

쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.^[5]