클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

국소 동차 원소

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 ${\displaystyle K}$-대수 ${\displaystyle A}$의 원소 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.^{[1]:233, Lemma 5.1.4[2]:149, §III.6.1}

• ${\displaystyle (1-k)a\in A_{0}}$, ${\displaystyle ka\in A_{1}}$인 원소 ${\displaystyle k\in K}$가 존재한다.
• 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K}$에 대하여, ${\displaystyle a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}$는 동차 원소이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$는 환의 스펙트럼이며, ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$는 ${\displaystyle K\setminus {\mathfrak {p}}}$에서의 가환환의 국소화이다.
• 모든 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 대하여, ${\displaystyle a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {m}}}$는 동차 원소이다. 여기서 ${\displaystyle K_{\mathfrak {m}}}$는 ${\displaystyle K\setminus {\mathfrak {m}}}$에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 ${\displaystyle K}$가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 ${\displaystyle A_{\text{lh}}^{\times }}$은 ${\displaystyle A}$의 가역원군 ${\displaystyle A^{\times }}$의 부분군을 이룬다.

${\displaystyle A_{0}^{\times }\subseteq A_{\text{lh}}^{\times }\subseteq A^{\times }}$

국소 동차 가역원 ${\displaystyle a\in A_{\text{lh}}^{\times }}$가 주어졌으며, ${\displaystyle k\in K}$가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, ${\displaystyle A=(1-k)A\oplus kA}$이며, 다음과 같은 ${\displaystyle A}$-자기 동형을 정의할 수 있다.^{[1]:234[2]:158, §III.6.5}

${\displaystyle \Theta _{a}\colon A\to A}$

${\displaystyle \Theta _{a}\colon b\mapsto (1-k)xax^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}}$

여기서

${\displaystyle \alpha \colon (a_{0}+a_{1})\mapsto (a_{0}-a_{1})\qquad \forall a_{0}\in A_{0},a_{1}\in A_{1}}$

는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)}$의 클리퍼드 군(영어: Clifford group)

${\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\subseteq (\operatorname {Cliff} (V,Q))_{\text{lh}}^{\times }}$

은 다음과 같은 원소 ${\displaystyle x\in \operatorname {Cliff} (V,Q)}$로 구성된, 가역원군의 부분군이다.^{[2]:228, §IV.6.1}

• ${\displaystyle x}$는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
• ${\displaystyle \Theta _{x}(V)\subseteq V}$이다.
• 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Q(\Theta _{x}(v))=Q(v)}$이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)}$의 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)

${\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)\subseteq \Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Cliff} (V,Q)^{\times }}$

은 다음과 같다.^{[2]:228, §IV.6.1}

${\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)=\Gamma (V,Q;K)\cap \operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)}$

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 ${\displaystyle \Gamma (V,Q;K)}$의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.^{[2]:230, §IV.6.2}

${\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (V,Q;K)\colon \alpha (x)x=1\right\}}$

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.^{[2]:230, §IV.6.2}

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\operatorname {Pin} (V,Q;K)\cap \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)}$

성질

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\subset &\operatorname {Pin} (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\subset &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)^{\times }&\subset &\operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\times }\end{matrix}}}$

체 위의 클리퍼드 군

${\displaystyle K}$가 체라고 하고, ${\displaystyle V}$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, ${\displaystyle Q}$가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 ${\displaystyle K}$-대수군의 짧은 완전열을 이룬다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}$

여기서

• ${\displaystyle \mu _{2}(K)=\{a\in K^{\times }\colon a^{2}=1\}}$은 ${\displaystyle K}$에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
• ${\displaystyle (K^{\times })^{2}\subseteq K^{\times }}$는 ${\displaystyle K^{\times }}$ 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 ${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$는 ${\displaystyle K}$의 제곱 유군이다.
• 준동형 ${\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to K^{\times }}$은 스피너 노름이다. 마찬가지로 ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$ 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
• ${\displaystyle \operatorname {\Omega } (V,Q;K)\subseteq \operatorname {O} (V,Q;K)}$는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)}$의 부분군이다.
• 준동형 ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)}$는 클리퍼드 군의 ${\displaystyle V}$ 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {\Omega } (V,Q;K)}$ 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}$

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &\mu _{2}(K)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}$

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &K^{\times }&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}$는 딕슨 불변량이며, ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}$는 그 제한이다.
• ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}$는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, ${\displaystyle \operatorname {SO} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}$는 그 제한이다.

실수 계수

${\displaystyle K=\mathbb {R} }$이며, ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle n}$차원 실수 벡터 공간이며, ${\displaystyle Q}$가 비퇴화 이차 형식일 때, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}$의 가역원군 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )^{\times }}$은 ${\displaystyle 2^{n}}$차원 리 군을 이룬다. 만약 ${\displaystyle Q}$가 음의 정부호 이차 형식이라면, ${\displaystyle \Gamma (0,n;\mathbb {R} )}$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 ${\displaystyle \Gamma _{0}(V,Q;\mathbb {R} )}$는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1}$

${\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {S\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1}$

즉, ${\displaystyle \Gamma (0,n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle n(n-1)/2+1}$차원 리 군이다. 전체 가역원군 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )^{\times }}$은 ${\displaystyle 2^{n}}$차원 리 군이므로, 이는 여차원 ${\displaystyle 2^{n}-n(n-1)/2-1}$의 부분군이다.

직교군과의 관계

정의에 따라, 클리퍼드 군 ${\displaystyle \Gamma (V,Q;K)}$는 ${\displaystyle V}$ 위의 ${\displaystyle K}$-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 ${\displaystyle Q}$를 보존하며, 따라서 직교군

${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)=\{f\in \operatorname {End} _{K}(V)\colon Q\circ f=Q\}}$

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)}$

클리퍼드 군 ${\displaystyle \Gamma (V,Q;K)}$는 ${\displaystyle \{v\in V\colon Q(v)\in K^{\times }\}}$를 부분 집합으로 포함한다 (${\displaystyle K^{\times }}$는 ${\displaystyle K}$의 가역원군). 이 경우

${\displaystyle v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}}$

${\displaystyle vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V}$

이다. 즉, ${\displaystyle v\in V}$의 작용은 ${\displaystyle u}$를 축 ${\displaystyle v}$에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량

${\displaystyle K}$가 체이며, ${\displaystyle V}$가 유한 차원 벡터 공간이며, ${\displaystyle Q}$가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}}$

즉, 이는 ${\displaystyle u}$로 인하여 생성되는 ${\displaystyle V}$-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

${\displaystyle D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}}$

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}}$

갈루아 코호몰로지와의 관계

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q}$에 대하여, 짧은 완전열

${\displaystyle 1\to \mu _{2}(K^{\operatorname {sep} })\to \operatorname {Pin} (V,Q;K^{\operatorname {sep} })\to \operatorname {O} (V,Q;K^{\operatorname {sep} })\to 1}$

에서 뱀 보조정리로 유도되는, 군 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);-)}$의 긴 완전열을 생각해 보자. (비아벨 군의 2차 이상 코호몰로지는 정의되지 않으므로, 이는 2차 코호몰로지에서 끝난다.) 이 긴 완전열은 다음과 같다.

${\displaystyle 1\to \mu _{2}(K)\to \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}\to \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {Pin} (V,Q;-))\to \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {O} (V,Q;-))\to \operatorname {H} ^{2}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu _{2}(-))}$

여기서 0차 갈루아 코호몰로지

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\operatorname {Pin} (V,Q;-))=\operatorname {Pin} (V,Q;K)}$

등은 단순히 ${\displaystyle K}$ 계수의 유리점들의 군이며, 1차 갈루아 코호몰로지

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K);\mu _{2}(-))\cong K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$

는 제곱 유군이며, 연결 사상 ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$는 스피너 노름이 된다.

같이 보기

• 클리퍼드 대수