스핀-1/2

양자역학에서 스핀은 모든 기본 입자의 고유한 특성이다. 일반 물질을 구성하는 입자인 모든 알려진 페르미온은 ⁠1/2⁠의 스핀을 가진다.^[1][2][3] 스핀 수는 입자가 완전히 한 바퀴 회전하는 동안 얼마나 많은 대칭 면을 가지는지를 나타낸다. ⁠1/2⁠의 스핀은 입자가 시작했을 때와 동일한 구성을 가지려면 두 바퀴 완전히 회전해야 (720°를 통해) 함을 의미한다.

공간의 한 점은 엉키지 않고 계속 회전할 수 있다. 360° 회전 후 나선형이 시계 방향과 반시계 방향 사이를 전환하는 것을 주목하라. 720° 완전히 회전한 후 원래 구성으로 돌아온다.

순 스핀 ⁠1/2⁠를 가진 입자에는 양성자, 중성자, 전자, 중성미자, 쿼크가 포함된다. 스핀-⁠1/2⁠ 물체의 동역학은 고전물리학을 사용하여 정확하게 설명될 수 없으며, 이는 양자역학을 필요로 하는 가장 간단한 시스템 중 하나이다. 따라서 스핀-⁠1/2⁠ 시스템의 동작 연구는 양자역학의 중심 부분을 이룬다.

슈테른-게를라흐 실험

반정수 스핀 도입의 필요성은 실험적으로 슈테른-게를라흐 실험의 결과로 거슬러 올라간다. 원자 빔이 강한 이질적인 자기장을 통과할 때, 원자의 고유 각운동량에 따라 N 부분으로 나뉜다. 은 원자의 경우 빔이 두 부분으로 나뉘는 것이 발견되었는데, 이는 바닥 상태가 정수가 될 수 없음을 의미한다. 왜냐하면 원자의 고유 각운동량이 가능한 가장 작은 (0이 아닌) 정수인 1일지라도, 빔은 3부분으로 나뉠 것이기 때문이다. 이는 L_z = −1, +1, 0에 해당하는 원자로, 여기서 0은 단순히 −1과 +1 사이에 있는 값으로 알려져 있으며, 그 자체로 정수이므로 이 경우 유효한 양자화된 스핀 수이다. 두 개의 편광된 양자 상태 사이에 이 가상의 "추가 단계"가 존재하면 세 번째 양자 상태, 즉 세 번째 빔이 필요하게 되는데, 이는 실험에서 관찰되지 않는다. 결론은 은 원자가 순 고유 각운동량 ⁠1/2⁠를 가졌다는 것이다.^[1]

일반적인 특성

스핀-⁠1/2⁠ 입자에 대한 스핀 각운동량 원뿔의 경험적 묘사.

스핀-⁠1/2⁠ 물체는 모두 페르미온이며 (스핀-통계 정리로 설명되는 사실) 파울리 배타 원리를 만족한다. 스핀-⁠1/2⁠ 입자는 스핀 방향을 따라 영구적인 자기 모멘트를 가질 수 있으며, 이 자기 모멘트는 스핀에 의존하는 전자기 상호작용을 유발한다. 스핀 발견에 중요했던 그러한 효과 중 하나는 제이만 효과이다. 이는 정적 자기장 존재 하에서 스펙트럼 선이 여러 구성 요소로 분할되는 현상이다.

더 복잡한 양자역학 시스템과 달리, 스핀-⁠1/2⁠ 입자의 스핀은 단 두 개의 고유 상태, 또는 스피너의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 이들은 전통적으로 스핀 업(spin up)과 스핀 다운(spin down)으로 표시된다. 이 때문에 양자역학적 스핀 연산자는 간단한 2 × 2 행렬로 표현될 수 있다. 이 행렬들을 파울리 행렬이라고 부른다.

생성 및 소멸 연산자는 스핀-⁠1/2⁠ 물체에 대해 구성될 수 있으며, 이들은 다른 각운동량 연산자와 동일한 교환 관계를 따른다.

불확정성 원리와의 연관성

일반화된 불확정성 원리의 한 결과는 스핀 투영 연산자 (x, y 또는 z와 같은 주어진 방향을 따른 스핀을 측정하는)가 동시에 측정될 수 없다는 것이다. 물리적으로, 이것은 입자가 회전하는 축이 잘 정의되지 않는다는 것을 의미한다. 스핀의 z-성분 측정은 이전에 얻었을 수도 있는 x- 및 y-성분에 대한 모든 정보를 파괴한다.

수학적 설명

스핀-⁠1/2⁠ 입자는 스핀 s에 대한 각운동량 양자수가 ⁠1/2⁠로 특징지어진다. 슈뢰딩거 방정식의 해에서 각운동량은 이 숫자에 따라 양자화되므로, 총 스핀 각운동량은 다음과 같다.

${\displaystyle S={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\ \hbar ={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\hbar .}$

그러나 z축과 같이 한 축을 따라 전자를 관찰할 때 관찰되는 미세 구조는 자기양자수의 관점에서 양자화되며, 이는 이 총 각운동량의 벡터 성분의 양자화로 볼 수 있으며, ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}\hbar }$ 값만 가질 수 있다.

각운동량에 대한 이 값들은 환산 플랑크 상수 (모든 광자의 각운동량)의 함수이며, 질량이나 전하에는 의존하지 않는다.^[4]

복소 위상

수학적으로 양자역학적 스핀은 고전적인 각운동량처럼 벡터로 설명되지 않는다. 이는 스피너라고 불리는 두 개의 성분을 가진 복소수 벡터로 설명된다. 스피너와 벡터는 좌표 회전 하에서 행동에 미묘한 차이가 있는데, 이는 복소수 필드 상의 벡터 공간의 행동에서 비롯된다.

스피너가 360° (한 바퀴) 회전하면 그 음수로 변환되고, 다시 360° 회전하면 다시 초기 값으로 변환된다. 이것은 양자 이론에서 입자 또는 시스템의 상태가 복소수 확률 진폭 (파동 함수) ${\displaystyle \psi }$로 표현되고, 시스템이 측정될 때 ${\displaystyle \psi }$ 상태에서 시스템을 찾을 확률은 진폭의 절댓값의 제곱인 ${\textstyle \left\vert \psi ^{2}\right\vert =\psi *\psi }$와 같기 때문이다. 수학적으로는 양자 힐베르트 공간은 회전군 SO(3)의 사영 표현을 지닌다.

회전 가능한 검출기가 어떤 상태를 검출할 확률이 검출기의 회전에 영향을 받는 입자를 측정한다고 가정해 보자. 시스템이 360° 회전하면 관찰된 출력과 물리학은 처음과 동일하지만, 스핀-⁠1/2⁠ 입자의 경우 진폭이 -1 또는 360°의 절반 위상 변화 요인에 의해 변경된다. 확률이 계산될 때, -1은 제곱되어 (−1)² = 1이 되므로 예측된 물리학은 시작 위치와 동일하다. 또한, 스핀-⁠1/2⁠ 입자에는 두 가지 스핀 상태만 있으며, 두 상태의 진폭이 동일한 -1 요인에 의해 변경되므로, 더 높은 스핀의 경우와 달리 간섭 효과는 동일하다. 복소 확률 진폭은 직접 관찰할 수 없는 이론적 구성물이다.

만약 확률 진폭이 검출기와 같은 양만큼 회전했다면, 장비가 180° 회전했을 때 -1 요인만큼 변경되었을 것이고, 이는 제곱하면 시작 시와 동일한 출력을 예측했을 것이다. 그러나 실험은 이것이 틀렸음을 보여준다. 검출기가 180° 회전하면 스핀-⁠1/2⁠ 입자의 결과는 회전하지 않았을 때와 다를 수 있으므로, 이론의 예측이 실험과 일치하도록 하기 위해 절반 요인이 필요하다.

더 직접적인 증거의 측면에서, 스핀-⁠1/2⁠ 입자의 360° 회전과 720° 회전 사이의 차이에 대한 물리적 효과는 중성자 간섭계의 고전적인 실험에서^[5] 실험적으로 관찰되었다. 특히, 스핀 정렬된 스핀-⁠1/2⁠ 입자의 빔이 분할되고, 빔 중 하나만 운동 방향의 축을 중심으로 회전한 후 원래 빔과 재결합되면, 회전 각도에 따라 다른 간섭 효과가 관찰된다. 360° 회전의 경우 상쇄 효과가 관찰되는 반면, 720° 회전의 경우 빔은 상호 강화된다.^[5]

비상대론적 양자역학

스핀-⁠1/2⁠ 입자의 양자 상태는 스피너라고 불리는 두 개의 성분으로 이루어진 복소수 벡터로 설명될 수 있다. 입자의 관측 가능한 상태는 스핀 연산자 S_x, S_y, S_z 및 총 스핀 연산자 S에 의해 찾아진다.

관측량

스피너가 양자 상태를 설명하는 데 사용될 때, 세 가지 스핀 연산자 (S_x, S_y, S_z)는 파울리 행렬이라고 불리는 2 × 2 행렬로 설명될 수 있으며, 이들의 고유값은 ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}\hbar }$이다.

예를 들어, 스핀 투영 연산자 S_z는 z 방향으로의 스핀 측정에 영향을 미친다.

${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

S_z의 두 고유값, ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}\hbar }$는 다음 고유 스피너에 해당한다.

${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .}$

이 벡터들은 스핀-⁠1/2⁠ 입자를 설명하는 힐베르트 공간의 완전한 기저를 형성한다. 따라서 이 두 상태의 선형 결합은 x 및 y 방향을 포함한 모든 가능한 스핀 상태를 나타낼 수 있다.

사다리 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\qquad S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$이므로^[6], ${\textstyle S_{x}={\frac {1}{2}}(S_{+}+S_{-})}$ 및 ${\textstyle S_{y}={\frac {1}{2i}}(S_{+}-S_{-})}$가 된다. 따라서:

${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$

이들의 정규화된 고유 스피너는 통상적인 방법으로 찾을 수 있다. ${\textstyle S_{x}}$의 경우:

${\displaystyle \chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\textstyle S_{y}}$의 경우:

${\displaystyle \chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

상대론적 양자역학

비상대론적 양자역학이 3차원 공간과 시간으로 묘사되는 동역학과 함께 힐베르트 공간에서 2차원으로 스핀 ⁠1/2⁠을 정의하는 반면, 상대론적 양자역학은 힐베르트 공간에서 4차원으로 스핀을 정의하고 4차원 시공간으로 동역학을 묘사한다.

관측량

상대론에서 시공간의 4차원적 특성 결과로, 상대론적 양자역학은 스핀 연산자와 관측량을 설명하기 위해 4 × 4 행렬을 사용한다.

역사

물리학자 폴 디랙이 슈뢰딩거 방정식을 아인슈타인의 상대성이론과 일치하도록 수정하려 했을 때, 그는 결과로 나오는 디랙 방정식에 행렬을 포함시킴으로써만 가능함을 발견했고, 이는 파동이 여러 성분을 가져야 하며 스핀으로 이어진다는 것을 암시했다.^[7]

4π 스피너 회전은 야키르 아하로노프와 레너드 서스킨드가 1967년에 제안한 후, 헬무트 라우흐와 공동 연구자들이 1974년에 중성자 간섭계를 사용하여 실험적으로 검증했다.^[8][9]

같이 보기

• 사영 표현