파투 보조정리

실해석학에서 파투 보조정리(영어: Fatou’s lemma)는 가측 함수의 열의 하극한의 르베그 적분과 르베그 적분의 하극한 사이에 성립하는 부등식이다.

정의

파투 보조정리에 따르면, 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 ${\displaystyle f_{n}\colon X\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]:23

${\displaystyle \int _{X}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu }$

여기서 ${\displaystyle \liminf }$는 하극한이다.

증명:

다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

${\displaystyle g_{n}\colon x\mapsto \inf _{k\geq n}f_{k}(x)}$

그렇다면 각 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle g_{n}(x)\leq f_{n}(x)}$이므로

${\displaystyle \int _{X}g_{n}\mathrm {d} \mu \leq \int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu }$

이다. 이제 단조 수렴 정리에 따르면,

${\displaystyle \int _{X}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}\lim _{n\to \infty }g_{n}\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu }$

을 얻어, 증명이 끝난다.

예

등식

만약 ${\displaystyle f_{n}=c}$이 같은 상수 함수의 열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.

부등식

실수선 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ 위의 보렐 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$와 그 위의 르베그 측도 ${\displaystyle \mu =\mu _{\operatorname {L} }}$를 생각하자.

가측 함수열

${\displaystyle f_{n}=(1/n)1_{[n,\infty )}}$

의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 이는 등식이 아니다.

가측 함수열

${\displaystyle f_{n}=n1_{(0,1/n)}}$

의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.

역사

프랑스의 수학자 피에르 파투(프랑스어: Pierre Fatou)가 증명하였다.