평면 곡선

수학에서 평면 곡선(plane curve)은 평면에 있는 곡선으로, 유클리드 평면, 아핀 평면 또는 사영 평면일 수 있다. 가장 자주 연구되는 경우는 매끄러운 평면 곡선(조각별 매끄러운 평면 곡선 포함)과 대수 평면 곡선이다. 평면 곡선에는 조르당 곡선(평면의 영역을 둘러싸지만 매끄러울 필요는 없는 곡선)과 연속 함수 그래프도 포함된다.

상징적 표현

평면 곡선은 특정 함수 f에 대한 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ 형태의 음함수에 의해 데카르트 좌표로 표현될 수 있다. 이 방정식이 y 또는 x에 대해 명시적으로 풀릴 수 있다면(즉, 특정 함수 g 또는 h에 대해 ${\displaystyle y=g(x)}$ 또는 ${\displaystyle x=h(y)}$로 다시 작성될 수 있다면), 이는 표현의 대안적이고 명시적인 형태를 제공한다. 평면 곡선은 또한 특정 함수 ${\displaystyle x(t)}$와 ${\displaystyle y(t)}$에 대해 ${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t))}$ 형태의 매개변수 방정식에 의해 데카르트 좌표로 표현될 수 있다.

평면 곡선은 때때로 원점으로부터의 각도와 거리로 각 점의 위치를 표현하는 극좌표계와 같은 대체 좌표계로도 표현될 수 있다.

매끄러운 평면 곡선

매끄러운 평면 곡선은 실수 유클리드 평면 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$에 있는 곡선이며 1차원 매끄러운 다양체이다. 이는 매끄러운 평면 곡선이 "국부적으로 직선처럼 보이는" 평면 곡선임을 의미하며, 모든 점 근처에서 매끄러운 함수에 의해 직선에 매핑될 수 있다. 동등하게, 매끄러운 평면 곡선은 ${\displaystyle f(x,y)=0}$이라는 방정식으로 국부적으로 주어질 수 있으며, 여기서 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$는 매끄러운 함수이고, 편미분 ${\displaystyle \partial f/\partial x}$와 ${\displaystyle \partial f/\partial y}$는 곡선의 한 점에서 동시에 0이 아니다.

대수 평면 곡선

대수 평면 곡선은 하나의 다항 방정식 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ (또는 ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, 여기서 F는 사영의 경우 동차다항식임)으로 주어지는 아핀 평면 또는 사영 평면의 곡선이다.

대수 곡선은 18세기 이래로 광범위하게 연구되어 왔다.

모든 대수 평면 곡선은 정의 방정식의 차수와 같은 차수를 가지며, 이는 대수적으로 닫힌 체의 경우 일반 위치에 있는 직선과 곡선의 교점 수와 같다. 예를 들어, 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$로 주어지는 원은 차수가 2이다.

차수 2의 비특이 평면 대수 곡선은 원뿔 곡선이라고 불리며, 이들의 사영 완비화는 모두 원 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$의 사영 완비화(즉, 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$의 사영 곡선)와 동형이다. 차수 3의 평면 곡선은 3차 평면 곡선이라고 불리며, 비특이인 경우 타원곡선이라고 불린다. 차수 4의 곡선은 4차 평면 곡선이라고 불린다.

예시

수많은 평면 곡선의 예시는 곡선 갤러리에 나와 있으며 곡선 목록에 나열되어 있다. 차수 1 또는 2의 대수 곡선은 여기에 나와 있다(차수 3 미만의 대수 곡선은 항상 평면에 포함된다).

이름	음함수 방정식	매개변수 방정식	함수로서	그래프
직선	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
원	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
포물선	${\displaystyle y-x^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2})}$	${\displaystyle y=x^{2}}$
타원	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
쌍곡선	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$

같이 보기

• 대수기하학
• 볼록 곡선
• 미분기하학
• 오스굿 곡선
• 평면 곡선 맞춤
• 사영 다양체
• 꼬인 곡선

각주

• Coolidge, J. L. (2004년 4월 28일), 《A Treatise on Algebraic Plane Curves》, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, R. C. (1952), 《A handbook on curves and their properties》, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), 《A catalog of special plane curves》, Dover, ISBN 0-486-60288-5.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Plane Curve” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.