포화 집합

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일반위상수학에서, 포화 집합(영어: saturated set)은 (임의의 수의) 열린집합들의 교집합인 부분 집합이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle (X,\operatorname {Open} (X))}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$의 포화화(영어: saturation) ${\displaystyle \operatorname {sat} (S)}$는 ${\displaystyle S}$의 모든 근방들의 교집합이다.

${\displaystyle \operatorname {sat} (S)=\bigcap {\mathcal {N}}_{S}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{S}}$는 ${\displaystyle S}$의 근방 필터이다. 이 정의에서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{S}}$는 ${\displaystyle S}$의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.

위상 공간 ${\displaystyle (X,\operatorname {Open} (X))}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle S}$를 포화 집합이라고 한다.

• (열린집합들의 교집합) ${\displaystyle S=\bigcap {\mathcal {U}}}$인 열린집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}$가 존재한다.
• (스스로의 포화화와 일치) ${\displaystyle \textstyle S=\operatorname {sat} (S)}$

위상 공간 ${\displaystyle (X,\operatorname {Open} (X))}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$가 다음 조건을 만족시키면, 재귀 집합(영어: recurrent set)이라고 한다.

• (모든 포화 집합과 겹침) ${\displaystyle S\cap T=\varnothing }$인 포화 집합 ${\displaystyle T\subseteq X}$은 공집합밖에 없다.

성질

함의 관계

정의에 따라, 모든 G_δ 집합은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 조밀 집합이다.

콤팩트 공간과의 관계

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle S}$는 콤팩트 집합이다.
• 포화화 ${\displaystyle \operatorname {sat} (S)}$는 콤팩트 집합이다.

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$는 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$는 콤팩트 포화 국소 기저를 갖는다.

차분한 공간에서, 콤팩트 포화 집합들의 하향 집합의 교집합은 콤팩트 포화 집합이다.^{[1]:381, Theorem 2.28} 이는 칸토어 교점 정리의 차분한 변형이다.

베르 공간과의 관계

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 베르 공간이다.
• 모든 재귀 집합은 베르 공간이다.
• 베르 재귀 집합을 갖는다.

예

임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 모든 부분 집합은 포화 집합이다.
• 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
• T1 공간이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]:380

• ${\displaystyle X}$ 위에 스콧 위상을 가하였을 때, ${\displaystyle S}$는 포화 집합이다.
• ${\displaystyle S}$는 상집합이다.

증명:

스콧 열린집합들은 상집합이므로, 그 교집합 역시 상집합이다. 반대로, 만약 ${\displaystyle S}$가 상집합이라면,

${\displaystyle S=\bigcap _{x\in X\setminus S}X\setminus \mathop {\downarrow } x}$

이며, 각 ${\displaystyle X\setminus \mathop {\downarrow } x}$는 스콧 열린집합이다.

초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 ${\displaystyle \max X\subseteq X}$은 재귀 집합을 이룬다.^{[1]:397, Proposition 5.6}