베르 공간

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일반위상수학에서 베르 공간(Baire空間, 영어: Baire space)은 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 위상 공간이다.

정의

쇼케 게임

공집합이 아닌 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자.

1. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
2. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$를 고르는 것이다. 수들을 ${\displaystyle (U_{0},U_{1},U_{2},\dots )}$라고 하자. (즉, 갑은 ${\displaystyle U_{0},U_{2},U_{4},\dots }$를 두고, 을은 ${\displaystyle U_{1},U_{3},U_{5},\dots }$를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 ${\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \cdots }$이어야 한다.
3. 만약 ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots =\varnothing }$라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.

이를 쇼케 게임(영어: Choquet game) ${\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}$이라고 한다.^{[1]:43, Definition 8.10[2]:39–40, §1[3]:234, §4}

공집합이 아닌 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자.

1. 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
2. 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 열린집합과 그 속의 점의 순서쌍 ${\displaystyle (U,x)}$를 고르는 것이다. 수들을 ${\displaystyle ((U_{0},x_{0}),(U_{1},x_{1}),(U_{2},x_{2}),(U_{3},x_{3}),\dots )}$라고 하자. (즉, 갑은 ${\displaystyle (U_{0},x_{0}),(U_{2},x_{2}),(U_{4},x_{4}),\dots }$를 두고, 을은 ${\displaystyle (U_{1},x_{1}),(U_{3},x_{3}),(U_{5},x_{5}),\dots }$를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 ${\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \cdots }$이며 ${\displaystyle x_{0}=x_{1}\land x_{2}=x_{3}\land \cdots }$이어야 한다.
3. 만약 ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots =\varnothing }$라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.

이를 강한 쇼케 게임(영어: strong Choquet game) ${\displaystyle \operatorname {StrChoq} (X)}$이라고 한다.

베르 공간과 쇼케 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 베르 공간이라고 한다.

• ㈀ 내부가 공집합인, 임의의 가산 개의 닫힌집합들의 합집합의 내부는 항상 공집합이다.
• ㈁ 임의의 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합은 조밀 집합이다.^{[1]:41, Proposition 8.1(iii)}
• ㈂ 제1 범주 열린집합은 공집합 밖에 없다.^{[1]:41, Proposition 8.1(i)}
• ㈃ 모든 제1 범주 집합의 여집합이 조밀 집합이다.^{[1]:41, Proposition 8.1(ii)}
• ㈄ 공집합이거나, 또는 쇼케 게임 ${\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}$에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.^{[1]:43, Theorem 8.11[2]:41, Theorem 1}

증명:

조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂: ${\displaystyle X}$가 조건 ㈀을 만족시키며, ${\displaystyle S\subseteq X}$가 제1 범주 열린집합이라고 하자. ${\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }S_{i}}$이며, ${\displaystyle S_{i}}$가 조밀한 곳이 없는 집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \textstyle \varnothing =\operatorname {int} \left(\bigcup _{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} S_{i}\right)\supseteq \operatorname {int} S=S}$이다.

조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃: ${\displaystyle X}$가 조건 ㈀을 만족시키며, ${\displaystyle S\subseteq X}$가 제1 범주 집합이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {int} S}$는 제1 범주 열린집합이다. 따라서, ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {int} S=\operatorname {cl} X\setminus S}$이다. 따라서 ${\displaystyle X\setminus S}$는 조밀 집합이다.

조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁: ${\displaystyle X}$가 조건 ㈃을 만족시키며, ${\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }}$가 조밀 열린집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }X\setminus U_{i}}$는 제1 범주 집합이다. 따라서, ${\displaystyle \textstyle X\setminus S=\bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}}$는 조밀 집합이다.

조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임 ${\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}$의 합법적인 수들로 구성된 나무를 ${\displaystyle T}$로 쓰자. ${\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}$에서 갑의 필승 전략 ${\displaystyle \sigma }$가 주어졌다고 하자. 즉, ${\displaystyle \sigma }$는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다.

• 만약 ${\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T}$라면, ${\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1},\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1}))\in T}$
• 만약 ${\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots )}$가 ${\displaystyle T}$의 극대 사슬이라면, ${\displaystyle \sigma ()\cap U_{1}\cap \sigma (U_{1})\cap U_{3}\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap U_{5}\cap \dots =\varnothing }$

그렇다면, ${\displaystyle \sigma ()}$에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다.

${\displaystyle T'=\{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\colon (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T\}}$

라고 쓰자. 초른 보조정리에 따라, 임의의 ${\displaystyle {\vec {U}}=(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})}$가 다음 두 조건을 만족시키는 극대 집합족이라고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}$에 대하여, ${\displaystyle (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\in T'}$
• ${\displaystyle \{\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\colon U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})\}}$는 서로소 집합들의 집합이다.

그렇다면, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})}$은 ${\displaystyle \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}$의 조밀 집합이다. (만약 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}$의 공집합이 아닌 열린집합이며, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})}$와 서로소라면, ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})\cup \{V\}}$가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제,

${\displaystyle T''=\{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'\colon \forall j\colon U_{2j-1}\in {\mathcal {U}}((U_{1},U_{3},\dots ,U_{2j-3}))\}}$

${\displaystyle W_{i}=\bigcup _{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T''}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}$

라고 하자. 그렇다면, 각 ${\displaystyle W_{i}}$는 ${\displaystyle W_{i-1}}$의 조밀 집합이다. 따라서, 각 ${\displaystyle W_{i}}$는 ${\displaystyle W_{0}=\sigma ()}$의 조밀 열린집합이다. 따라서, ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}=\varnothing }$을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, ${\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}}$라고 가정하자. 그렇다면, 나무 ${\displaystyle T''}$에서, 각 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle x\in \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}$인 극대 사슬 ${\displaystyle (U_{1},U_{3},U_{5},\dots )}$을 취할 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle x\in \sigma ()\cap \sigma (U_{1})\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap \cdots }$이며, 이는 ${\displaystyle \sigma }$가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다.

조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀: ${\displaystyle (F_{i})_{i=0}^{\infty }}$가 내부가 공집합인, ${\displaystyle X}$의 닫힌집합들의 열이지만, ${\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }F_{i}}$의 내부가 공집합이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임 ${\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}$에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가 ${\displaystyle (U_{0},U_{1},\dots ,U_{2i-1})}$일 때, 갑이 ${\displaystyle U_{2i}=(\operatorname {int} S\cap U_{0}\cap \cdots \cap U_{2i-1})\setminus F_{i}}$를 두는 갑의 전략을 생각하자. (${\displaystyle F_{i}}$의 내부가 공집합이므로, 반드시 ${\displaystyle U_{2i}\neq \varnothing }$이다.) 그렇다면, ${\displaystyle U_{2i-1}\subseteq \operatorname {int} S\setminus (F_{0}\cup F_{1}\cup \cdots \cup F_{i})}$이므로, ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\varnothing }$이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, ${\displaystyle X}$를 쇼케 공간(Choquet空間, 영어: Choquet space)이라고 한다.^{[1]:Definition 8.12} 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, ${\displaystyle X}$를 강한 쇼케 공간(Choquet空間, 영어: strong Choquet space)이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

쇼케 게임의 성질	갑이 필승 전략을 가짐	갑·을 아무도 필승 전략을 갖지 못함	을이 필승 전략을 가짐
위상 공간의 성질	베르 공간이 아닌 공간	쇼케 공간이 아닌 베르 공간	쇼케 공간

성질

베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합은 제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합의 여집합은 공집합이 아니다.

함의 관계

베르 범주 정리(Baire範疇定理, 영어: Baire category theorem)는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.^{[4]:415–417}

• (제1 베르 범주 정리) 완비 거리화 가능 공간은 베르 공간이다.^{[5]:296[6]:97[7]:345[1]:41, Theorem 8.4[8]:57, Theorem I.17.1}
• (제2 베르 범주 정리) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.^{[9]:234[1]:41, Theorem 8.4[8]:57, Theorem I.17.1}

제1 베르 범주 정리의 증명:

완비 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$ 속의 조밀 열린집합들의 열 ${\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }}$ 및 임의의 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ 및 양의 실수 ${\displaystyle r_{0}\in \mathbb {R} ^{+}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle x\in B(x_{0},r_{0})\cap \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}\neq \varnothing }$

인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재함을 보이면 족하다.

이제, ${\displaystyle U_{i}}$는 모두 조밀 열린집합이므로

• ${\displaystyle \operatorname {cl} (B(x_{i+1},r_{i+1}))\subset U_{i}\cap B(x_{i},r_{i})}$
• ${\displaystyle r_{i+1}\leq 1/(i+1)}$

인 점렬 ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X}$ 및 양의 실수열 ${\displaystyle (r_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} ^{+}}$을 고를 수 있다.

그렇다면, ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}$는 코시 열이므로 극한 ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=x\in X}$를 가지며, 정의에 따라

${\displaystyle x\in B(x_{0},r_{0})\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots }$

이다.

제2 베르 범주 정리의 증명:

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$의 조밀 열린집합들의 열 ${\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }}$ 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포가 콤팩트 집합인 열린집합 ${\displaystyle \varnothing \neq V_{0}\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V_{0}\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots }$가 공집합이 아님을 보이면 족하다.

이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 상대 콤팩트 근방들로 구성된 국소 기저를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 ${\displaystyle (V_{i})_{i=0}^{\infty }}$을 고를 수 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {cl} V_{i+1}\subseteq V_{i}\cap U_{i}}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} V_{i+1}}$는 콤팩트 집합이다.
• ${\displaystyle V_{i+1}}$는 공집합이 아니다.

이제 칸토어 교점 정리에 의하여

${\displaystyle \bigcap _{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} V_{i}\subseteq \textstyle V_{0}\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots }$

는 공집합이 아니다.

제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리가 필요하다.^[10]

사실, 모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간^{[11]:12, Proposition 9.1}은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다.

		완비 거리화 가능 공간
			⇘
				강한 쇼케 공간	⇒	쇼케 공간	⇒	베르 공간
			⇗
국소 콤팩트 하우스도르프 공간	⇒	국소 콤팩트 차분한 공간

증명 (국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간):

국소 콤팩트 차분한 공간 ${\displaystyle X}$의 쇼케 게임을 생각하자. 갑이 둔 수가 ${\displaystyle (U,x)}$일 때,

${\displaystyle x\in V\subseteq K\subseteq U}$

인 콤팩트 포화 집합 ${\displaystyle K}$와 열린집합 ${\displaystyle V}$를 찾을 수 있다. 이 경우 을이 ${\displaystyle (V,x)}$를 수로 둔다고 하자. 을이 이러한 전략을 취했을 때, 갑과 을이 둔 수들의 교집합은 어떤 콤팩트 포화 집합의 하강 열의 교집합과 같다. 차분한 공간에 대한 칸토어 교점 정리에 의하여, 이는 공집합이 아니다. 즉, 이 전략은 을의 필승 전략이다.

연산에 대한 닫힘

베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다.^{[5]:297[1]:41, Proposition 8.3} 마찬가지로, 쇼케 공간의 열린집합은 쇼케 공간이다.^{[1]:44, Exercise 8.13} 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다.

증명 (베르 공간의 열린집합은 베르 공간):

${\displaystyle X}$가 베르 공간이며 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 열린집합이며, ${\displaystyle (U_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$이 ${\displaystyle U}$의 조밀 열린집합의 열이라고 하자. 그 교집합이 ${\displaystyle U}$의 조밀 집합임을 보이면 족하다. ${\displaystyle (U_{i}\cup (X\setminus \operatorname {cl} U))_{i\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle X}$의 조밀 열린집합의 열이다. (이는

${\displaystyle \operatorname {cl} (U_{i}\cup (X\setminus \operatorname {cl} U))=\operatorname {cl} U_{i}\cup \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)=\operatorname {cl} \operatorname {cl} U_{i}\cup \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)\supseteq \operatorname {cl} U\cup (X\setminus \operatorname {cl} U)=X}$

이기 때문이다.) 따라서 그 교집합

${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}\cup X\setminus \operatorname {cl} U}$

은 ${\displaystyle X}$의 조밀 집합이다. 따라서

${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}}$

는 ${\displaystyle U}$의 조밀 집합이다 (${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)\subseteq X\setminus U}$).

베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.^[5]:299

베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.^{[1]:44, Exercise 8.13}

${\displaystyle X}$가 베르 공간, ${\displaystyle Y}$가 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 연속 함수들의 열 ${\displaystyle f_{i}\colon X\to Y}$(${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$)이 어떤 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$로 점별 수렴한다면, ${\displaystyle f}$가 연속 함수인 점들의 집합은 ${\displaystyle X}$의 조밀 집합이다.^[5]:297

예

공집합은 (자명하게) 베르 공간이다.

무리수 집합은 베르 공간이다.^[5]:299

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다.

모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다.

연속 함수 공간

연속 함수의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}$ 위에 거리 함수 ${\displaystyle \textstyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}\{|f(x)-g(x)|\}}$를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다.

적어도 한 점에서 미분 가능한 ${\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} }$ 연속 함수의 집합은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}$ 안에서 제1 범주 집합임을 보일 수 있다. 따라서, 그 여집합은 공집합이 아니다. 이는 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수의 예이다.^{[9]:238–240}

유리수에서만 연속인 함수의 부재

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 완비 거리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 따라서 베르 공간이다.

${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$가 조밀 집합이며, 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$가 ${\displaystyle A}$에서 연속 함수라고 하자. 이 경우, ${\displaystyle f}$가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.^{[9]:237–238}

극대 원소 집합

연속 dcpo ${\displaystyle (X,\leq )}$ 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 그 극대 원소의 집합 ${\displaystyle \max X}$는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.^{[12]:182, Theorem 5.1}

역사

실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(영어: William Fogg Osgood, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.^[13][14]

이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다.^[15][16]

쇼케 게임은 귀스타브 쇼케(프랑스어: Gustave Choquet, 1915~2006)가 1958년에 도입하였다.^[17][18]