2차원 𝒩=1 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초등각 장론(二次元${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$超等角場論, 영어: two-dimensional ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ superconformal theory)은 하나의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=1 초등각 대수

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

• ${\displaystyle G_{r}}$. 이는 ${\displaystyle h=3/2}$ 비라소로 대수 1차장인 초전류(영어: supercurrent) ${\displaystyle Q(z)}$의 모드 전개이다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건의 경우 ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} +1/2}$이며, 라몽(R) 경계 조건의 경우 ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$이다.
• ${\displaystyle L_{n}}$. 이는 ${\displaystyle h=2}$ 비라소로 대수 준1차장인 에너지-운동량 텐서 ${\displaystyle T(z)}$의 모드 전개이며, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$이다.
• ${\displaystyle c}$는 중심 원소이며, 중심 전하(영어: central charge)라고 한다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.

c는 모든 원소와 가환

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}]=(m/2-r)G_{r+m}}$

${\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}(r^{2}-1/4)\delta _{r+s,0}}$

이 대수는 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ R대칭을 갖는다.

${\displaystyle L_{m}\mapsto L_{m}}$

${\displaystyle G_{r}\mapsto -G_{r}}$

${\displaystyle c\mapsto c}$

대역적 대수

NS 대수에서, ${\displaystyle L_{0}}$, ${\displaystyle L_{\pm 1}}$, ${\displaystyle G_{\pm 1/2}}$는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭의 리 초대수이다.

R 대수에서, ${\displaystyle L_{0}}$, ${\displaystyle G_{0}}$, ${\displaystyle c}$는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

${\displaystyle [L_{0},G_{0}]=[L_{0},L_{0}]=0}$

${\displaystyle \{G_{0},G_{0}\}=2(L_{0}-c/24)}$

표현

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다.^{[1]:174–175[2]:254–255} 초1차장은 다음을 만족시키는 상태이다.

${\displaystyle L_{n}|\phi \rangle =G_{r}=0\qquad \forall n,r>0}$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}G_{-r_{1}}G_{-r_{2}}\cdots G_{-r_{p}}|\phi \rangle \qquad (0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{k},\;0<r_{1}<r_{2}<\cdots <r_{p}}$

여기서 ${\displaystyle r_{i}<r_{i+1}}$인 것은

${\displaystyle G_{r}^{2}=L_{2r}-{\frac {c}{24}}\delta _{r,0}}$

이기 때문이다.

라몽 경계 조건에서 ${\displaystyle G_{0}}$의 경우,

${\displaystyle G_{0}^{2}=L_{0}-c/24}$

이므로, 무게가 ${\displaystyle h}$인 비라소로 1차장을

${\displaystyle G_{0}|h\rangle =\pm {\sqrt {h-c/24}}|h\rangle }$

가 되게 대각화할 수 있다.

유니터리 표현의 경우, 가능한 무게들은 다음과 같다.^{[2]:254–255}

• ${\displaystyle c\geq 3/2}$인 경우: ${\displaystyle h\geq 0}$ (NS), ${\displaystyle h\geq c/24}$ (R)
• ${\displaystyle 0<c<3/2}$인 경우:

${\displaystyle c_{k}={\frac {3}{2}}-{\frac {12}{m(m+2)}}}$

${\displaystyle h_{r,s}={\frac {(r(m+2)-sm)^{2}-4}{8m(m+2)}}+{\begin{cases}0&{\text{NS}}\\1/16&{\text{R}}\end{cases}}\qquad (1\leq r\leq m-1,\;1\leq s\leq m+1)}$

후자의 경우는 최소 모형에 등장한다.

예

${\displaystyle c<3/2}$인 유니터리 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초등각 장론들은 완전히 분류되었고, 이들을 최소 모형이라고 한다.

자유 마요라나-바일 페르미온 ${\displaystyle \psi }$(${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(1/2,0),(0,1/2)}$)과 자유 실수 보손 ${\displaystyle \partial \phi }$ (${\displaystyle (h,\hbar )=(1,0),(0,1)}$)으로 구성된 자유 장론은 ${\displaystyle c=3/2}$인 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 비라소로 1차장들은 다음과 같다.

기호	무게 ${\displaystyle h}$	설명
${\displaystyle 1}$	0	진공
${\displaystyle Q=\psi \partial \phi }$	3/2	초전류 (1에 ${\displaystyle G_{-3/2}}$를 가하여 얻음)
${\displaystyle \psi }$	½	페르미온
${\displaystyle \partial \phi }$	1	보손 (${\displaystyle \psi }$에 ${\displaystyle G_{-1/2}}$를 가하여 얻음)

즉, 두 개의 초1차장 ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \psi }$를 갖는다.

응용

초끈 이론에서, 초끈의 세계면 이론은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ 초등각 장론 (2종 초끈) 또는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)}$ 초등각 장론 (잡종 끈)을 이룬다.

같이 보기

• 2차원 𝒩=2 초등각 장론
• 2차원 𝒩=4 초등각 장론
• 끈 이론
• 2차원 등각 장론
• 초대칭
• 최소 모형 (등각 장론)