2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 장론(二次元${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$超等角場論, 영어: two-dimensional ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ superconformal theory)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=2 초등각 대수

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.^[1]

기호	이름	무게 ${\displaystyle h}$	U(1) R대칭 전하 ${\displaystyle q}$
${\displaystyle T(z)}$	에너지-운동량 텐서	2	0
${\displaystyle G^{\pm }(z)}$	초전류	3/2	±½
${\displaystyle J(z)}$	R대칭 보존류	1	0
${\displaystyle c}$	중심 원소	0	0

통상적으로, ${\displaystyle {\hat {c}}}$를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle {\hat {c}}=c/3}$

이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.^[2]:(2.1) 여기서 ${\displaystyle \cdots }$는 ${\displaystyle z\to 0}$에서 비특이항을 뜻한다.

${\displaystyle T(z)T(0)={\frac {3}{2}}{\hat {c}}z^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots }$

${\displaystyle T(z)G^{\pm }(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G^{\pm }(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots }$

${\displaystyle T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots }$

${\displaystyle J(z)J(0)={\hat {c}}z^{-2}+\cdots }$

${\displaystyle J(z)G^{\pm }(0)=\pm z^{-1}G^{\pm }(0)+\cdots }$

${\displaystyle G^{\pm }(z)G^{\pm }(0)=\cdots }$

${\displaystyle G^{\pm }(z)G^{\mp }(0)={\hat {c}}z^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm {\frac {1}{2}}\partial J(0)\right)+\cdots }$

모드 전개

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.^[2]:(2.2)

${\displaystyle T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}}$

${\displaystyle G^{\pm }(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} \pm \eta }z^{r-3/2}G_{-r}^{\pm }}$

${\displaystyle J(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}}$

여기서 NS 경계 조건의 경우 ${\displaystyle \eta =0}$이며 R 경계 조건의 경우 ${\displaystyle \eta =1/2}$이다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.^{[1]:178, (5.14)[2]:(2.3)[3]:(1.1)}

c는 모든 원소와 가환

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{4}}{\hat {c}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={\hat {c}}m\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_{r+s}+{\frac {1}{2}}(r-s)J_{r+s}+{\frac {1}{2}}{\hat {c}}(r^{2}-{1 \over 4})\delta _{r+s,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}^{\pm }]=(m/2-r)G_{r+m}^{\pm }}$

${\displaystyle [J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }}$

대역적 대수

NS 대수에서, ${\displaystyle L_{0}}$, ${\displaystyle L_{\pm 1}}$, ${\displaystyle J_{0}}$, ${\displaystyle G_{1/2}^{\pm }}$, ${\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }}$는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(2|2)}$이다. 이 리 초대수의 보손 성분 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2)\oplus {\mathfrak {usp}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)\oplus {\mathfrak {so}}(3)}$는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, ${\displaystyle L_{0}}$, ${\displaystyle J_{0}}$, ${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$, ${\displaystyle c}$는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

${\displaystyle \{G_{0}^{+},G_{0}^{-}\}=L_{0}-c/24}$

${\displaystyle [J_{0},G_{0}^{\pm }]=\pm G_{0}^{\pm }}$

${\displaystyle [L_{0},G_{0}^{\pm }]=[L_{0},L_{0}]=[L_{0},J_{0}]=\{G_{0}^{\pm },G_{0}^{\pm }\}=[J_{0},J_{0}]=0}$

이는 콤팩트 리만 다양체에서 ${\displaystyle \Delta }$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle d^{\dagger }}$가 이루는 대수와 같다.

표현

베르마 가군

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 ${\displaystyle |\phi \rangle }$은 다음 조건을 만족시킨다.

${\displaystyle L_{n}|\phi \rangle =G_{r}|\phi \rangle =0\qquad \forall n,r>0}$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}G_{-r_{1}}^{+}G_{-r_{2}}^{+}\cdots G_{-r_{p}}^{+}G_{-s_{1}}^{-}G_{-s_{2}}^{-}\cdots G_{-s_{q}}^{-}|\phi \rangle \qquad (0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{k},\;0<r_{1}<r_{2}<\cdots <r_{p},\;0\leq s_{1}<\cdots <s_{q}}$

여기서 ${\displaystyle r_{i}<r_{i+1}}$ 및 ${\displaystyle s_{i}<s_{i+1}}$인 것은

${\displaystyle (G_{r}^{+})^{2}+=(G_{s}^{-})^{2}=0}$

이기 때문이다. 또한, ${\displaystyle 0<r_{1}}$인 것은 라몽 대역 초등각 대수 ${\displaystyle (G_{0}^{+},G_{0}^{-},L_{0},J_{0},c)}$의 작용을 대각화시켜, 초1차장 ${\displaystyle |h,q\rangle }$에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.

${\displaystyle G_{0}^{+}|h,q\rangle =0}$

유니터리 초1차장의 범위

${\displaystyle c=6}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 ${\displaystyle g_{r}^{\operatorname {NS} }=0}$으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 ${\displaystyle f_{1,2}^{\operatorname {NS} }=0}$에 의하여 정의된다.

${\displaystyle c=6}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 ${\displaystyle g_{r}^{\operatorname {R} }=0}$으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 ${\displaystyle f_{1,2}^{\operatorname {R} }=0}$에 의하여 정의된다.

다음과 같은 함수들을 정의하자.

${\displaystyle g_{r}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^{2}-1/4)\quad (r\in \mathbb {Z} +1/2)}$

${\displaystyle g_{r}^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^{2}-1/4)-1/4\quad (r\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^{2}+{\frac {1}{4}}(c/3+1)^{2}-{\frac {1}{4}}(c/3-1)^{2}}$

${\displaystyle f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^{2}+{\frac {1}{4}}(c/3+1)^{2}}$

${\displaystyle q_{k,l,m}^{\text{NS}}=-{\frac {m}{k+2}}}$

${\displaystyle q_{k,l,m}^{\text{R}}=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle h_{k,l,m}^{\text{NS}}={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}}$

${\displaystyle h_{k,l,m}^{\text{R}}={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {1}{8}}}$

${\displaystyle g_{r}=0}$은 ${\displaystyle (q,h)}$ 반평면에 직선을 정의하며, ${\displaystyle f_{1,2}=0}$은 ${\displaystyle (q,h)}$ 반평면에 포물선을 정의한다.

그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.^[4][5][6][7]

	${\displaystyle c}$ 범위	NS 조건	R 조건
유질량 표현	${\displaystyle c\geq 3}$	${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\colon g_{r}^{\text{NS}}>0}$	${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Z} \colon g_{r}^{\text{R}}>0}$
무질량 표현	${\displaystyle c\geq 3}$	${\displaystyle f_{1,2}^{\operatorname {NS} }\geq 0,\;\exists r\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\colon g_{r}^{\text{NS}}=0,\;g_{r+\operatorname {sgn} r}\leq 0}$	${\displaystyle f_{1,2}^{\operatorname {R} }\geq 0,\;\exists r\in \mathbb {Z} \colon g_{r}^{\text{R}}=0,\;g_{r+\operatorname {sgn} r}\leq 0}$
최소 모형의 표현	${\displaystyle c=3k/(k+2)<3,\quad (k=1,2,\dots )}$	${\displaystyle \exists l,m\colon (h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{NS}},q_{k,l,m}^{\text{NS}})}$, ${\displaystyle 0\leq l\leq k}$, ${\displaystyle |m|\leq l}$	${\displaystyle \exists l,m\colon (h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{R}},q_{k,l,m}^{\text{R}})}$, ${\displaystyle 0\leq l\leq k}$, ${\displaystyle m\in [1-l,l-1]\cup \{l+1\}}$

${\displaystyle c\geq 3}$일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. ${\displaystyle c<3}$일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 최소 모형에 등장하는 것들이다.

특히, ${\displaystyle G_{r}^{+}}$에서 ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} +\epsilon }$이라고 한다면,

${\displaystyle 0\leq \langle h,q|G_{\epsilon }^{\pm }G_{-\epsilon }^{\mp }|h,q\rangle +\langle h,q|G_{-\epsilon }^{\mp }G_{+\epsilon }^{\pm }|h,q\rangle =\langle h,q|\{G_{\epsilon }^{\pm },G_{-\epsilon }^{\mp }\}|h,q\rangle =\langle h,q|(L_{0}\pm \epsilon J_{0}+c(\epsilon ^{2}-1/4)/6)|h,q\rangle =h\pm \epsilon q+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}}$

이므로, 항상

${\displaystyle h+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}\geq |\epsilon q|}$

가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는

${\displaystyle h\geq 2|q|}$

이며 (${\displaystyle g_{\pm 1/2}^{\text{NS}}\geq 0}$), R 경계 조건에서는

${\displaystyle h\geq c/24}$

이다 (${\displaystyle g_{0}^{\text{R}}\geq 0}$). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

${\displaystyle g_{r}=g_{r+\operatorname {sgn} r}=0}$이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{2(c/3-1)}}={\begin{cases}h&{\text{NS}}\\h-1/8&{\text{R}}\end{cases}}}$

즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 ${\displaystyle h\geq q^{2}/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}}$에만 존재할 수 있다.

c=3인 경우

유니터리 표현의 분류는 ${\displaystyle c=3}$인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,

${\displaystyle g_{r}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)\quad (r\in \mathbb {Z} +1/2)}$

${\displaystyle g_{r}^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad (r\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^{2}}$

이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.

${\displaystyle |q|\leq 1}$

${\displaystyle h={\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots &{\text{NS}}\\1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots &{\text{R}}\end{cases}}}$

BPS 상태

NS 초1차장 가운데 만약

${\displaystyle q=\pm 2h}$

인 상태 ${\displaystyle |h,\pm 2h\rangle }$가 있다면,

${\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }|h,\pm 2h\rangle =0}$

이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(영어: chiral field), − 부호일 경우 반손지기장(영어: antichiral field)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 ${\displaystyle f_{1,2}^{\text{NS}}\geq 0}$ 조건에 의하여

${\displaystyle 2h=|q|\leq c/3}$

이다.^[8]:378

특별한 경우로, 진공 ${\displaystyle h=q=0}$일 경우에는

${\displaystyle L_{-1}|0,0\rangle =G_{-1/2}^{\pm }|0,0\rangle =0}$

이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 ${\displaystyle h=c/24}$일 경우,

${\displaystyle G_{0}^{\pm }|c/24,q\rangle =0}$

이 성립한다. 이는 ${\displaystyle g_{0}^{\text{R}}=0}$과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태(영어: Ramond ground state)라고 한다. 유니터리 라몽 초1차장의 경우 ${\displaystyle f_{1,2}^{\text{R}}\geq 0}$ 조건에 의하여

${\displaystyle |q|\leq c/6+1/2}$

이다.

초공간

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초대칭은 초공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2|4}}$를 사용하여 나타낼 수 있다.^{[9]:271–276} 이 경우, 보손 좌표 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$는 복소평면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$로 여겨, 복소수 좌표 ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 ${\displaystyle (\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\mp })}$로 나타낼 수 있다. 이 때

${\displaystyle (\theta ^{\pm })^{*}={\bar {\theta }}^{\mp }}$

이다. 이 경우, ${\displaystyle \theta ^{\pm }}$ 및 ${\displaystyle {\bar {\theta }}^{\pm }}$은 각각 스핀 ${\displaystyle \pm 1/2}$를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\bigwedge (\mathbb {C} ^{2})}$

의 층을 갖는 환 달린 공간이다.

일반적 초장은

${\displaystyle \Phi (z,{\bar {z}},\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\mp })=\phi (z,{\bar {z}})+\theta ^{+}f_{+}(z,{\bar {z}})+\theta ^{-}f_{-}(z,{\bar {z}})+{\bar {\theta }}^{+}g_{+}(z,{\bar {z}})+{\bar {\theta }}^{-}g_{-}(z,{\bar {z}})+\theta ^{+}\theta ^{-}h(z,{\bar {z}})}$

와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 ${\displaystyle D^{\pm }}$, ${\displaystyle {\bar {D}}^{\pm }}$을 정의하면 손지기 초장(영어: chiral superfield)

${\displaystyle {\bar {D}}_{\pm }\Phi =0}$

및 반손지기 초장(영어: antichiral superfield

${\displaystyle {\bar {D}}_{\pm }\Phi =0}$

및 뒤틀린 손지기 초장(영어: twisted chiral superfield)

${\displaystyle {\bar {D}}_{+}\Phi =D_{-}\Phi =0}$

및 뒤틀린 반손지기 초장(영어: twisted antichiral superfield)

${\displaystyle D_{+}\Phi ={\bar {D}}_{-}\Phi =0}$

이 존재한다. 이들은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

성질

위상 뒤틀림

정칙 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위에

${\displaystyle Q^{2}=(G_{-1/2}^{\pm })^{2}=0}$

이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, ${\displaystyle G_{-1/2}^{\pm }}$를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은

${\displaystyle h=\pm q/2}$

인 것들, 즉 (${\displaystyle Q=G_{-1/2}^{+}}$인 경우) 손지기장 또는 (${\displaystyle Q=G_{-1/2}^{-}}$인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(영어: chiral ring) 및 반손지기환(영어: antichiral ring)이라는 등급 가환환을 이룬다.

비정칙 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.^[9]:403

${\displaystyle Q_{A}={\bar {G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}}$

${\displaystyle Q_{B}={\bar {G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{+}}$

이 경우, A-뒤틀림은

${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(-q/2,{\bar {q}}/2)}$

인 것들을 남기고 (ac환 영어: ac ring), B-뒤틀림은

${\displaystyle (h,{\bar {h}})=(q/2,{\bar {q}}/2)}$

인 것들을 남긴다 (cc환 영어: cc ring). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기(영어: (anti)chiral)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

스펙트럼 흐름

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름(영어: spectral flow)이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 ${\displaystyle \eta \in \mathbb {R} }$에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, ${\displaystyle \eta =1/2}$라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, ${\displaystyle \eta =1}$이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.^{[1]:186, (5.35)}

${\displaystyle h\mapsto h-\eta q+c\eta ^{2}/6}$

${\displaystyle q\mapsto q-c\eta /3}$

스펙트럼 흐름 아래

${\displaystyle h-{\frac {3}{2c}}q^{2}}$

는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.

${\displaystyle {\binom {\sqrt {2ch/3}}{q}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}{\binom {\sqrt {2ch/3}}{q}}}$

여기서

${\displaystyle {\sqrt {2ch/3}}\,d\theta ={\frac {c}{3}}\,d\eta }$

이므로,

${\displaystyle \eta ={\sqrt {6h/c}}(\sinh \theta )+{\frac {3q}{c}}(\cosh \theta -1)}$

이다.

이에 따라, ${\displaystyle \eta =1/2}$일 때 손지기장 ${\displaystyle h=q/2}$은 ${\displaystyle (h',q')=(c/24,q-c/6)}$인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, ${\displaystyle \eta =1}$인 경우, 손지기장 ${\displaystyle h=q/2}$는 반손지기장 ${\displaystyle (h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)}$으로 대응된다.

${\displaystyle \eta =-1}$	${\displaystyle \eta =-1/2}$	${\displaystyle \eta =0}$	${\displaystyle \eta =1/2}$	${\displaystyle \eta =1}$
		손지기장 ${\displaystyle (h,q)=(h,2h)}$	라몽 바닥 상태 ${\displaystyle (h,q)=(c/24,2h-c/6)}$	반손지기장 ${\displaystyle (h,q)=(c/6-h,2h-c/3)}$
	손지기장 ${\displaystyle (h,q)=(c/12+q/2,c/6+q)}$	라몽 바닥 상태 ${\displaystyle (h,q)=(c/24,q)}$	반손지기장 ${\displaystyle (h,q)=(c/12-q/2,q-c/6)}$
손지기장 ${\displaystyle (h,q)=(c/6-h,c/3-2h)}$	라몽 바닥 상태 ${\displaystyle (h,q)=(c/24,-2h+c/6)}$	반손지기장 ${\displaystyle (h,q)=(h,-2h)}$

모듈러 불변성

${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티

${\displaystyle y=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle {\bar {y}}=\exp(-2\pi i{\bar {z}})}$

${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$

${\displaystyle {\bar {q}}=\exp(-2\pi i{\bar {\tau }})}$

를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle Z(q,{\bar {q}},y,{\bar {y}})=\operatorname {tr} _{\operatorname {NS} }\left(q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-c/24}y^{J_{0}}{\bar {y}}^{{\bar {J}}_{0}}\right)=\sum _{(h,{\bar {h}},q,{\bar {q}})}q^{h-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {h}}-c/24}y^{j}{\bar {y}}^{\bar {j}}}$

이는 모듈러 군의 S변환

${\displaystyle S\colon (\tau ,z)\mapsto (\tau ',z')=(-1/\tau ,z/\tau )}$

아래 다음과 같이 변환한다.^[10]

${\displaystyle Z(\tau ,z)=\exp(-\pi icz^{2}/3\tau )\exp(\pi ic{\bar {z}}^{2}/3{\bar {\tau }})Z(\tau ',z')}$

즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 ${\displaystyle (-1)^{F}=\exp(i\pi (J_{0}-{\bar {J}}_{0}))}$를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, 영어: elliptic genus)를 정의할 수 있다.^{[11][12]:(2.1)}

${\displaystyle Z(\tau ,z)=\operatorname {tr} _{\operatorname {R} }\left((-1)^{F}q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-c/24}y^{J_{0}}\right)}$

이는 위튼 지표의 일반화이며, ${\displaystyle \tau }$ 및 ${\displaystyle z}$에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.^{[12]:(2.4), (2.5), (2.6)}

${\displaystyle Z(\tau ,z)=Z(\tau ,-z)=Z(\tau +1,z)}$

${\displaystyle Z(\tau ,z)=\exp(-\pi icz^{2}/3\tau )Z(-1/\tau ,z/\tau )}$

따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 ${\displaystyle {\hat {c}}/2}$의 약한 야코비 형식을 이룬다.

예

자유 이론

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 ${\displaystyle c=3}$을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.

경계 조건	장	무게 ${\displaystyle h}$	R대칭 전하 ${\displaystyle q}$	설명
	1	0	1	진공
NS	${\displaystyle Q^{+}=\psi ^{+}\partial \phi ^{*}}$	3/2	+1	초전류
NS	${\displaystyle Q^{-}=\psi ^{-}\partial \phi }$	3/2	−1	반초전류
NS	${\displaystyle J=\psi ^{+}\psi ^{-}}$	1	0	R대칭 보존류
NS	${\displaystyle \psi ^{+}}$	½	+1	페르미온
NS	${\displaystyle \partial \phi =G_{-1/2}^{-}\partial \psi ^{+}}$	1	0	보손
NS	${\displaystyle \psi ^{-}}$	½	−1	반페르미온
NS	${\displaystyle \partial \phi ^{*}=G_{-1/2}^{+}\partial \psi ^{-}}$	1	0	반보손
R	${\displaystyle U_{1/2}1=U_{-1/2}\psi ^{-}}$	⅛	−½	라몽 바닥 상태
R	${\displaystyle U_{1/2}\psi ^{+}=U_{-1/2}1}$	⅛	½	라몽 바닥 상태

이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 ${\displaystyle \psi ^{+}}$과 하나의 반손지기 초1차장 ${\displaystyle \psi ^{-}}$를 갖는다. 즉, 손지기환은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$와 동형이다.

이들로부터 정의되는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 대수는 구체적으로 다음과 같다.^[13]:240 복소수 보손 ${\displaystyle \phi }$의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$이라고 하고, 복소수 페르미온 ${\displaystyle \psi }$의 모드 전개를 ${\displaystyle e_{r}}$라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle \displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}}$

${\displaystyle \displaystyle {\{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}}$

그렇다면 다음과 같이 ${\displaystyle {\hat {c}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 대수를 구성할 수 있다.

${\displaystyle L_{n}=\sum _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\sum _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\sum _{r}(r+{n \over 2}):e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

${\displaystyle J_{n}=\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:}$

${\displaystyle G_{r}^{+}=\sum (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m}}$

${\displaystyle G_{r}^{-}=\sum (a_{r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}}$

최소 모형

 이 부분의 본문은 최소 모형 (등각 장론)입니다.

${\displaystyle {\hat {c}}<1}$인 일련의 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.^[14]

잉여류 모형

단순 리 군 ${\displaystyle G}$ 및 닫힌 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$가 주어졌으며, ${\displaystyle \operatorname {rank} G=\operatorname {rank} H}$이며, ${\displaystyle H}$의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 ${\displaystyle G/H}$는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형(영어: Kazama–Suzuki model)이라는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 등각 장론을 정의할 수 있다.^[15] 이는 가자마 요이치(風間 洋一)와 스즈키 히사오(鈴木 久男)가 도입하였다.

시그마 모형

복소수 ${\displaystyle d}$차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 ${\displaystyle {\hat {c}}=c/3=d}$인 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.^[16][17]

• 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
• ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
• ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.

타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 (${\displaystyle d\leq 3}$)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.^[17]

응용

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 진공해를 얻기 위하여 사용된다.^{[1]:191–192}

역사

1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고,^[18] 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.^[3][19] 그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다.^[4] 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.^[20]