완비 원순서 집합

순서론에서 완비 원순서 집합(영어: complete preordered set, 약자 cpo)은 모든 사슬이 상한을 갖는 원순서 집합이다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 ${\displaystyle P}$를 완비 원순서 집합이라고 한다.

• 모든 사슬의 상한이 존재한다.
• 모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.
• 최소 원소를 가지며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.
• 최소 원소를 가지며, 표준적인 매장 ${\displaystyle \downarrow \colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$는 (얇은 작은 범주 사이의 함자로 여겼을 때) 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• 임의의 순서 보존 함수 ${\displaystyle f\colon P\to P}$의 고정점 집합 ${\displaystyle \{a\in P\colon a\sim f(a)\}}$은 최소 원소를 갖는다.^{[1]:20–21, Exercise O-2.20, Exercise O-2.21(iv)}

완비 원순서 집합에서, 주 순서 아이디얼 ${\displaystyle \downarrow \colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$의 왼쪽 수반 함자는 순서 아이디얼의 상한

${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$

${\displaystyle {\bigvee }\dashv {\downarrow }}$

이다.

보다 일반적으로, 순서수 ${\displaystyle \alpha }$가 주어졌을 때, 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$이 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle P}$를 ${\displaystyle \alpha }$-완비 원순서 집합(영어: ${\displaystyle \alpha }$-complete preordered set)이라고 한다.

• 순서형 ${\displaystyle \alpha }$ 미만의 모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.

두 완비 원순서 집합 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon P\to Q}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 완비 원순서 집합의 사상이라고 한다.

• 사슬의 상한을 보존한다. 즉, 임의의 사슬 ${\displaystyle C\subseteq P}$에 대하여, ${\displaystyle f\left(\bigvee C\right)=\bigvee f(C)}$
• 최소 원소를 보존하며, 상향 집합의 상한을 보존한다. 즉, ${\displaystyle f(\bot _{P})=\bot _{Q}}$이며, 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여 ${\displaystyle f\left(\bigvee D\right)=\bigvee f(D)}$.
• 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.

완비 원순서 집합의 사상은 항상 순서 보존 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

성질

모든 완비 원순서 집합은 닫힌 원순서 집합이다. 따라서 초른 보조정리를 적용할 수 있다.

격자 ${\displaystyle L}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완비 원순서 집합이다.
• 완비 격자이다.

즉, 완비 원순서 집합은 완비 격자의 개념을 일반화한다.

고정점

완비 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$ 위의 순서 보존 함수 ${\displaystyle f\colon P\to P}$의 고정점 집합 ${\displaystyle \{a\in P\colon a\sim f(a)\}}$은 완비 원순서 집합이다. 이는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

완비 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$ 위의 순서 보존 함수들의 집합 ${\displaystyle (f_{i}\colon P\to P)_{i\in I}}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \forall i\in I\forall a\in P\colon a\leq f_{i}(a)}$

그렇다면, ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$는 최소 공통 고정점을 갖는다.^{[1]:21, Exercise O-2.22}

범주론적 성질

완비 원순서 집합과 그 사상의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cpo} }$는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.