직교군

군론에서 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교 행렬의 리 군이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위에 비퇴화 이차 형식

${\displaystyle Q\colon V\to K}$

가 주어졌다고 하자. (만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2가 아니라면, 이는 ${\displaystyle V}$ 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)}$는 ${\displaystyle V}$ 위의 가역 선형 변환들 가운데, ${\displaystyle Q}$를 보존하는 것들로 구성된 군이다.

${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)=\{M\in \operatorname {GL} (V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}}$

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 ${\displaystyle K}$에 대한 대수군이다. 또한, 만약 ${\displaystyle K}$가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간이며, ${\displaystyle Q}$가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 ${\displaystyle \operatorname {O} (n;K)}$로 쓴다.

실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 ${\displaystyle (p,q)}$에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}$와 같이 쓴다.

특수직교군

직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle D\colon \operatorname {O} (n;K)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle D\colon M\mapsto \operatorname {rank} (1-M){\pmod {2}}}$.

이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 ${\displaystyle \det \colon \operatorname {O} (n;K)\to \{\pm 1\}}$과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;K)}$는 딕슨 불변량의 핵이다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (n;K)=\ker D=\operatorname {O} (n;K)/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$.

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {O} (n;K)\to \operatorname {SO} (n;K)\to 1}$.

스핀 군과 핀 군

특수직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )}$에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1}$.

이 리 군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.

${\displaystyle n>2}$일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. (${\displaystyle n=2}$일 경우는 물론 ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\operatorname {U} (1)}$이고, 그 범피복 공간은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\mathbb {Z} /2&=&\mathbb {Z} /2\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (n)&\to &\operatorname {Pin} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\|\\1&\to &\operatorname {SO} (n)&\to &\operatorname {O} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}}$

직교 리 대수

실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)}$ 또는 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n;K)}$와 같이 쓴다 (${\displaystyle K=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$).

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;\mathbb {C} )}$는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)=\{M\in \operatorname {Mat} (n;K)\colon M^{\top }=-M\}}$

스피너 노름

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)}$에 대하여, 스피너 노름(영어: spinor norm)은 다음과 같은 군 준동형이다.

${\displaystyle N\colon \operatorname {O} (V,Q)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}$

${\displaystyle N(R_{v})=1\qquad (Q(v)\neq 0)}$

여기서 ${\displaystyle R_{v}}$는 ${\displaystyle v\in V}$에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{v}\colon u\mapsto u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}}$

직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

SO*(2n)

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )}$은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

우선, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle 2n}$차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위에 심플렉틱 구조

${\displaystyle \Omega \colon V\otimes _{K}V\to V}$

가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}}$

의 꼴이다. 그렇다면,

${\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)}$

위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )=\left\{M\in \operatorname {GL} (V;K)\colon \Omega (M^{\top }u,v)=\Omega (u,Mv)\qquad \forall u,v\in V\right\}}$

즉, ${\displaystyle \Omega }$를 ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.

${\displaystyle M\Omega =\Omega M}$

마찬가지로,

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(V,\Omega )=\operatorname {SL} (V)\cap \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )}$

이다.

그렇다면, 실수 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n;\mathbb {C} )}$의 실수 형태이다.

성질

군론적 성질

체 ${\displaystyle K}$에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}}$

만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 ${\displaystyle n}$이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, ${\displaystyle n}$이 홀수라면 그렇지 않다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (n;K))={\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}}\qquad (\operatorname {char} K\neq 2)}$

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)

${\displaystyle \operatorname {PO} (n;K)=\operatorname {O} (n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))}$

을 얻는다.

마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n;\mathbb {C} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\equiv 1,3{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&n\equiv 2{\pmod {4}}\\(\mathbb {Z} /2)^{\oplus 2}&n\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q;\mathbb {R} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&pq\not \equiv 0{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&pq\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}$

리 이론적 성질

복소수 리 군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )}$는 ${\displaystyle n\neq 4}$일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 ${\displaystyle n=2k+1}$이라면 ${\displaystyle B_{k}}$에, 만약 ${\displaystyle n=2k}$라면 ${\displaystyle D_{k}}$에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

${\displaystyle B_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet }$

${\displaystyle D_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )}$의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (k,k;\mathbb {R} )}$이며, 홀수 차수에서는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (k+1,k;\mathbb {R} )}$이다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )}$의 극대 원환면은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots \\0&&R_{k}\end{pmatrix}}}$

여기서

${\displaystyle R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}}$

는 2×2 회전 행렬이다. ${\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )}$의 극대 원환면은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&&0\\&\ddots \\&&R_{k}\\0&&&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )}$의 바일 군은 반직접곱

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k}\rtimes \operatorname {Sym} (k)}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \epsilon =(\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}}$는

${\displaystyle \epsilon \colon \theta _{i}\mapsto \epsilon _{i}\theta _{i}}$

와 같이 작용하며, 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (k)}$는

${\displaystyle \sigma \colon \theta _{i}\mapsto \theta _{\sigma (i)}}$

와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 ${\displaystyle (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k})\in \{\pm 1\}^{k}}$의 원소는 블록 대각 행렬

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(M(\epsilon _{1}),\dots ,M(\epsilon _{k}),\prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\right)\in \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M(+1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad M(-1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

이며, ${\displaystyle \operatorname {Sym} (k)}$의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 ${\displaystyle 2k\times 2k}$ 치환행렬에 ${\displaystyle (2k+1,2k+1)}$번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )}$의 바일 군은 반직접곱

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k-1}\rtimes \operatorname {Sym} (k)}$

이다. 포함 관계

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))<\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))}$

아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )){\xrightarrow {\phi }}\{\pm 1\}\to 1}$

이며, ${\displaystyle \phi }$는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi \colon (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k},\sigma )\mapsto \prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\in \{\pm 1\}}$

위상수학적 성질

실수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )}$은 ${\displaystyle n(n-1)/2}$차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 ${\displaystyle \det M=\pm 1}$인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )}$를 이룬다.

복소수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {C} )}$은 복소수 ${\displaystyle n(n-1)/2}$차원(실수 ${\displaystyle n(n-1)}$차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. ${\displaystyle n\geq 2}$인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 ${\displaystyle \det M=\pm 1}$인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )}$를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))\cong \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} ))\cong {\begin{cases}1&n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\\mathbb {Z} /2&n>2\end{cases}}}$

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 ${\displaystyle n=2}$에서는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$를, ${\displaystyle n>2}$에서는 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle p,q>0}$)는 네 개의 연결 성분을 가지며,

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))=(\mathbb {Z} /2)^{2}}$

이다. 여기서 한 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$는 ${\displaystyle p}$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 ${\displaystyle q}$차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )}$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우

${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))}$

이다. ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )}$의 연결 부분군을 ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} )}$라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} ))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p;\mathbb {R} ))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q;\mathbb {R} ))}$

보트 주기성

호프 올뭉치

${\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}}$

로 인하여, 만약 ${\displaystyle i<n-1}$이라면

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {O} (n+1))}$

이다.^[1]:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^[1]:113

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}\qquad (i<n-1)}$

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

직교군	π0	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9
O(1)	ℤ/2	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0
O(2)	ℤ/2	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0
O(3)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	ℤ/2	ℤ/2	ℤ/12	ℤ/2	ℤ/2	ℤ/3
O(4)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ2	(ℤ/2)2	(ℤ/2)2	(ℤ/12)2	(ℤ/2)2	(ℤ/2)2	(ℤ/3)2
O(5)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	0	0
O(6)	ℤ/2	ℤ/2	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ/24	ℤ/2

특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {SO} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>0\end{cases}}}$

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0,1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>1\end{cases}}\qquad (n>2)}$

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Pin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i\neq 1\end{cases}}\qquad (n>2)}$

다음과 같은 무한 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (\infty )}$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {O} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {O} (n)}$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (\infty ))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}}$

이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^{[1]:112, Theorem 1}

${\displaystyle \operatorname {O} (\infty )\simeq \Omega ^{8}\operatorname {O} (\infty )}$

무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} ({\mathcal {H}})}$는 ${\displaystyle \operatorname {O} (\infty )}$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, ${\displaystyle \operatorname {O} ({\mathcal {H}})}$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.^[2]

${\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i}$

포함 관계

모든 ${\displaystyle n}$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {USp} (2n)}$
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (2n)}$
• ${\displaystyle \operatorname {SO} (n-1;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )}$. 만약 ${\displaystyle n}$이 짝수인 경우, 이는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$의 딘킨 도표를 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 ${\displaystyle n}$이 홀수인 경우, 이는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$의 딘킨 도표에 ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, ${\displaystyle \circ }$로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.

  ${\displaystyle 2\mid n\colon \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }\qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \Rightarrow \bullet }$

  ${\displaystyle 2\nmid n\colon \qquad \bullet -\bullet -\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}}$

• 만약

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\subset G_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (9)\subset F_{4}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (10)\subset E_{6}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (12)\subset E_{7}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (16)\subset E_{8}}$

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.

1차원

${\displaystyle \operatorname {O} (1)\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {PSO} (1)\cong 1}$

2차원

${\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$

3차원

${\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {PUSp} (2)\cong \mathbb {RP} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {USp} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )}$

4차원

${\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\cong \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)}$

${\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )}$

5차원

${\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PUSp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )}$

6차원

${\displaystyle \operatorname {SO} (6)\cong \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle \operatorname {PSO} (6)\cong \operatorname {PSU} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {H} )}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SU} (2,2)/(\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle \operatorname {PSO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2,2)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(3,3)\cong \operatorname {PSL} (4;\mathbb {R} )}$

홀수 표수 유한체 위에서의 직교군

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다..

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} _{q}}$에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 ${\displaystyle Q_{1}}$과 ${\displaystyle aQ_{1}}$의 꼴이다 (${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}}$는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (2k+1;\mathbb {F} _{q})}$은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 ${\displaystyle n/2}$인 것을 플러스형, ${\displaystyle n/2-1}$인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 ${\displaystyle \operatorname {O} ^{\pm }(2k;\mathbb {F} _{q})}$라고 쓴다.^[3]:69–75

표수가 2가 아닌 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ (${\displaystyle q=p^{k}}$, ${\displaystyle p}$ 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.^{[3]:72, (3.30)–(3.32)}

${\displaystyle |\operatorname {O} (2n+1;\mathbb {F} _{q})|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$

${\displaystyle |\operatorname {O} ^{+}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$

${\displaystyle |\operatorname {O} ^{-}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}$

표수 2에서의 직교군

표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.

• 표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다.
• 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.

구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

응용

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, ${\displaystyle (p,q)}$-차원 시공간의 등각 대칭군은 ${\displaystyle \operatorname {SO} (p+1,q+1)}$이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.