균형 잡힌 쌍가군

환론에서 균형 잡힌 쌍가군(영어: balanced bimodule)은 한쪽 환의 작용에 대한 임의의 자기 사상을 항상 반대쪽 환의 작용으로 나타낼 수 있는 쌍가군이다. 이 개념은 모리타 동치 이론에 등장한다.

정의

균형 잡힌 쌍가군

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 ${\displaystyle R}$
• 환 ${\displaystyle S}$
• 쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$

이 경우, 자연스러운 환 준동형

${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M_{S})}$

${\displaystyle S^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{R}M)}$

이 존재한다.

만약 이 두 환 준동형이 둘 다 전사 함수라면 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$를 균형 잡힌 쌍가군(영어: faithfully balanced bimodule)이라고 한다. 만약 이 두 환 준동형이 둘 다 전단사 함수라면 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$를 충실하게 균형 잡힌 쌍가군(영어: faithfully balanced bimodule)이라고 한다.^{[1]:488, Definition/Corollary 18.21}

균형 잡힌 가군

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$

그렇다면, 아벨 군의 자기 사상환

${\displaystyle \operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}$

을 정의할 수 있으며, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}$-왼쪽 가군을 이룬다. 자연스러운 환 준동형

${\displaystyle \phi _{M}\colon R\to \operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}$

을 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 자기 사상환은 (정의에 따라) ${\displaystyle R}$의 상의 중심화 부분환이다.

${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M)=\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R))}$

또한, ${\displaystyle R}$를 ${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M)}$으로 치환하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {End} (_{\operatorname {End} (_{R}M)}M)=\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {End} (_{R}M))}$

이에 따라, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$을 균형 잡힌 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군이라고 한다.

• ${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {End} (_{R}M))=\phi _{M}(R)}$. 즉, 임의의 아벨 군 준동형 ${\displaystyle f\colon M\to M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$가 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 자기 준동형과 가환한다면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle r\cdot }$의 꼴로 나타낼 수 있다 (${\displaystyle r\in R}$). (그러나 이러한 표현이 유일할 필요는 없다.)
• ${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R)))=\phi _{M}(R)}$. 즉, ${\displaystyle \phi _{M}(R)}$는 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이다.
• ${\displaystyle M}$은 균형 잡힌 ${\displaystyle (R,\operatorname {End} (_{R}M)^{\operatorname {op} })}$-쌍가군이다.

균형 잡힌 오른쪽 가군의 개념 역시 마찬가지로 정의된다. 즉, 환 ${\displaystyle S}$ 위의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{S}}$에 대하여, 자연스러운 환 준동형

${\displaystyle \phi _{M}\colon S^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}$

을 정의하였을 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군을 균형 잡힌 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군이라고 한다.

• ${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}(\operatorname {End} (M_{S}))=\phi _{M}(S^{\operatorname {op} })}$. 즉, 임의의 아벨 군 준동형 ${\displaystyle f\colon M\to M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$가 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 자기 준동형과 가환한다면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle r\cdot }$의 꼴로 나타낼 수 있다 (${\displaystyle r\in R}$). (그러나 이러한 표현이 유일할 필요는 없다.)
• ${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}(\phi _{M}(S^{\operatorname {op} })))=\phi _{M}(S^{\operatorname {op} })}$. 즉, ${\displaystyle \phi _{M}(S^{\operatorname {op} })}$는 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이다.
• ${\displaystyle M}$은 균형 잡힌 ${\displaystyle (\operatorname {End} (_{S}M),S)}$-쌍가군이다.

물론, 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

성질

반단순환의 모든 왼쪽 가군은 균형 잡힌 왼쪽 가군이며, 모든 오른쪽 가군은 균형 잡힌 오른쪽 가군이다.

임의의 왼쪽 아르틴 환의 단순 왼쪽 가군은 균형 잡힌 왼쪽 가군이다.^{[2]:187, Chapter 12}