바이어슈트라스 변환

수학에서 카를 바이어슈트라스의 이름을 따서 명명된 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$의 바이어슈트라스 변환(영어: Weierstrass transform)^[1]은 ${\displaystyle x}$를 중심으로 하는 가우스 함수로 가중된 ${\displaystyle f}$의 값을 평균하여 얻은 ${\displaystyle f(x)}$의 "평활화된" 버전이다.

함수 ${\displaystyle f(x)}$ (검은색)와 다섯 가지 ${\displaystyle t}$ 매개변수에 대한 일반화된 바이어슈트라스 변환 그래프. 표준 바이어슈트라스 변환 ${\displaystyle F(x)}$는 ${\displaystyle t=1}$ (녹색)인 경우에 해당한다

특히, 다음으로 정의되는 함수 ${\displaystyle F}$이다.

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

이는 f와 가우스 함수의 합성곱이다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

계수 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$는 가우스 함수가 총 적분값이 1이 되도록 선택되며, 결과적으로 상수 함수는 바이어슈트라스 변환에 의해 변경되지 않는다.

${\displaystyle F(x)}$ 대신 ${\displaystyle W[f](x)}$로도 쓴다. 정의 적분이 수렴하지 않을 때 ${\displaystyle F(x)}$가 모든 실수 ${\displaystyle x}$에 대해 존재할 필요는 없다는 점에 유의해야 한다.

바이어슈트라스 변환은 열 방정식 (또는 등가적으로 상수 확산 계수를 갖는 확산 방정식)과 밀접한 관련이 있다. 만약 함수 ${\displaystyle f}$가 상수 열전도도가 1인 무한히 긴 막대의 각 지점에서의 초기 온도를 나타낸다면, ${\displaystyle t=1}$ 시간 단위 후의 막대의 온도 분포는 함수 ${\displaystyle F}$로 주어진다. 1과 다른 ${\displaystyle t}$ 값을 사용함으로써 우리는 ${\displaystyle f}$의 일반화된 바이어슈트라스 변환(영어: generalized Weierstrass transform)을 정의할 수 있다.

일반화된 바이어슈트라스 변환은 주어진 적분 가능한 함수 ${\displaystyle f}$를 해석 함수로 임의로 잘 근사하는 수단을 제공한다.

이름

바이어슈트라스는 바이어슈트라스 근사 정리의 원래 증명에서 이 변환을 사용했다. 이 변환은 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 가우스 변환(영어: Gauss transform) 또는 가우스-바이어슈트라스 변환(영어: Gauss–Weierstrass transform)이라고도 불리며, 이를 광범위하게 연구한 에이나르 카를 힐레의 이름을 따서 힐레 변환(영어: Hille transform)이라고도 불린다. 아래에 언급된 일반화 ${\displaystyle W_{t}}$는 신호 처리에서는 가우스 필터로, 영상 처리 ( ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$에서 구현될 때)에서는 가우시안 블러로 알려져 있다.

일부 중요 함수의 변환

상수 함수

모든 상수 함수는 자체 바이어슈트라스 변환이다.

다항식

어떤 다항식의 바이어슈트라스 변환은 같은 차수의 다항식이며, 실제로 같은 최고차 항 계수를 가진다 (점근적 성장은 변하지 않는다). 실제로 ${\displaystyle H_{n}}$이 ${\displaystyle n}$차 (물리학자의) 에르미트 다항식을 나타낸다면, ${\displaystyle H_{n}(x/2)}$의 바이어슈트라스 변환은 단순히 ${\displaystyle x^{n}}$이다. 이는 에르미트 다항식의 생성함수가 바이어슈트라스 변환의 정의에 사용되는 가우스 핵과 밀접하게 관련되어 있다는 사실을 활용하여 증명할 수 있다.

지수, 사인, 코사인

지수 함수 ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$ (여기서 ${\displaystyle a}$는 임의의 상수)의 바이어슈트라스 변환은 ${\displaystyle x\mapsto \exp(a^{2})\exp(ax)}$이다. 따라서 함수 ${\displaystyle \exp(ax)}$는 고유값 ${\displaystyle \exp(a^{2})}$을 갖는 바이어슈트라스 변환의 고유함수이다.^{[주 1]}

${\displaystyle a=bi}$ (여기서 ${\displaystyle b}$는 임의의 실수 상수이고 ${\displaystyle i}$는 허수 단위)인 ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$의 바이어슈트라스 변환을 사용하고 오일러 항등식을 적용하면, 함수 ${\displaystyle \cos(bx)}$의 바이어슈트라스 변환은 ${\displaystyle \exp(-b^{2})\cos(bx)}$이고 함수 ${\displaystyle \sin(bx)}$의 바이어슈트라스 변환은 ${\displaystyle \exp(-b^{2})\sin(bx)}$임을 알 수 있다.

가우스 함수

함수 ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax^{2})}$의 바이어슈트라스 변환은 $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {1-4a}}}\exp \left({\dfrac {ax^{2}}{1-4a}}\right)&{\text{if }}a<1/4\\[5pt]{\text{undefined}}&{\text{if }}a\geq 1/4.\end{cases}}}$$ 특히 ${\displaystyle a}$가 음수로 선택된 경우를 주목할 만하다. 만약 ${\displaystyle a<0}$이면 ${\displaystyle \exp(ax^{2})}$는 가우스 함수이고 그 바이어슈트라스 변환 또한 가우스 함수이지만, "더 넓은" 가우스 함수이다.

일반적인 속성

바이어슈트라스 변환은 각 함수 ${\displaystyle f}$에 새로운 함수 ${\displaystyle F}$를 할당한다. 이 할당은 선형이다. 또한, 변환은 병진 불변성을 가지는데, 이는 함수 ${\displaystyle f(x+a)}$의 변환이 ${\displaystyle F(x+a)}$라는 것을 의미한다. 이 두 가지 사실은 일반적으로 합성곱을 통해 정의되는 모든 적분 변환에 대해 더 일반적으로 참이다.

만약 변환 ${\displaystyle F(x)}$가 실수 ${\displaystyle x=a}$와 ${\displaystyle x=b}$에 대해 존재한다면, 그 사이의 모든 실수 값에 대해서도 존재하며 그곳에서 해석 함수를 형성한다. 또한, ${\displaystyle F(x)}$는 ${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$를 만족하는 ${\displaystyle x}$의 모든 복소수 값에 대해 존재하며 복소평면의 해당 띠 위에서 정칙 함수를 형성한다. 이것은 위에서 언급된 ${\displaystyle F}$의 "평활도"에 대한 형식적인 진술이다.

만약 ${\displaystyle f}$가 전체 실수 축에 대해 적분 가능하면 (즉, ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$), 그 바이어슈트라스 변환 ${\displaystyle F}$도 그러하며, 추가적으로 모든 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle f(x)\geq 0}$이면 모든 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle F(x)\geq 0}$이고 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle F}$의 적분은 같다. 이것은 총 열 에너지가 열 방정식에 의해 보존되거나, 총 확산 물질의 양이 확산 방정식에 의해 보존된다는 물리적 사실을 나타낸다.

위의 내용을 사용하여 ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$와 ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$에 대해 ${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$이고 ${\displaystyle ||F||_{p}\leq ||f||_{p}}$임을 보일 수 있다. 결과적으로 바이어슈트라스 변환은 유계 작용소 ${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$를 생성한다.

만약 ${\displaystyle f}$가 충분히 매끄러우면, ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle k}$차 미분의 바이어슈트라스 변환은 ${\displaystyle f}$의 바이어슈트라스 변환의 ${\displaystyle k}$차 미분과 같다.

바이어슈트라스 변환 W와 양측 라플라스 변환 ${\displaystyle L}$을 연결하는 공식이 있다. 만약 다음과 같이 정의한다면

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

그러면

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

로우패스 필터

 가우시안 블러 § 로우패스 필터 문서에 이 부분의 추가 정보가 있습니다.

위에서 ${\displaystyle \cos(bx)}$의 바이어슈트라스 변환이 ${\displaystyle e^{-b^{2}}\cos(bx)}$이고, ${\displaystyle \sin(bx)}$에 대해서도 유사하다는 것을 보았다. 신호 처리의 관점에서 볼 때, 이는 신호 ${\displaystyle f}$가 주파수 ${\displaystyle b}$를 포함하면 (즉, ${\displaystyle \sin(bx)}$와 ${\displaystyle \cos(bx)}$의 조합인 항을 포함하면), 변환된 신호 ${\displaystyle F}$도 같은 주파수를 포함하지만, 진폭은 ${\displaystyle e^{-b^{2}}}$ 인수가 곱해진다는 것을 시사한다. 이로 인해 높은 주파수가 낮은 주파수보다 더 많이 감소하며, 따라서 바이어슈트라스 변환은 로우패스 필터 역할을 한다. 이는 연속 푸리에 변환으로도 다음과 같이 보일 수 있다. 푸리에 변환은 신호를 주파수 관점에서 분석하고, 합성곱을 곱셈으로 변환하며, 가우스 함수를 가우스 함수로 변환한다. 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수와의 합성곱이므로, 푸리에 변환된 신호를 가우스 함수와 곱한 다음 역 푸리에 변환을 적용하는 것이다. 주파수 공간에서 가우스 함수와의 이 곱셈은 높은 주파수를 흐리게 하는데, 이는 바이어슈트라스 변환의 "평활화" 속성을 설명하는 또 다른 방법이다.

역변환

가우스 함수의 라플라스 변환과 밀접하게 관련되어 있으며 허버드-스트라토노비치 변환의 실수 아날로그인 다음 공식은 비교적 쉽게 설정할 수 있다:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

이제 u를 형식 미분 연산자 D = d/dx로 대체하고 라그랑주 시프트 연산자를 활용한다.

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(x-y)}$,

(테일러 급수 공식과 지수 함수 정의의 결과)를 사용하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

따라서 바이어슈트라스 변환 ${\displaystyle W}$에 대한 다음 형식적인 표현을 얻는다.

${\displaystyle W=e^{D^{2}}~,}$

여기서 오른쪽의 연산자는 함수 f(x)에 다음과 같이 작용하는 것으로 이해된다.

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

위의 형식적인 유도는 수렴에 대한 세부 사항을 생략했으며, 따라서 공식 ${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$는 보편적으로 유효하지 않다. 잘 정의된 바이어슈트라스 변환을 갖지만 ${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$가 의미 있게 정의될 수 없는 여러 함수 ${\displaystyle f}$가 있다.

그럼에도 불구하고 이 규칙은 여전히 매우 유용하며, 예를 들어 위에서 언급한 다항식, 지수 및 삼각 함수의 바이어슈트라스 변환을 유도하는 데 사용될 수 있다.

따라서 바이어슈트라스 변환의 형식적인 역변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

다시 말하지만, 이 공식은 보편적으로 유효하지는 않지만 지침으로 사용될 수 있다. 오른쪽 항 연산자가 올바르게 정의되면 특정 함수 클래스에 대해 정확하다는 것을 보일 수 있다.^[2]

대신, 바이어슈트라스 변환을 약간 다른 방식으로 역변환할 수도 있다. 해석 함수

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

에 ${\displaystyle W^{-1}}$를 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

이는 (물리학자의) 에르미트 다항식 ${\displaystyle H_{n}}$의 기본적인 속성을 다시 사용한 것이다.

다시 말하지만, ${\displaystyle f(x)}$에 대한 이 공식은 최종 급수가 수렴하는지 확인하지 않았기 때문에 기껏해야 형식적이다. 그러나 예를 들어 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$인 경우, ${\displaystyle x=0}$에서의 ${\displaystyle F}$의 모든 미분을 알면 계수 ${\displaystyle a_{n}}$을 얻기에 충분하며, 이를 통해 ${\displaystyle f}$를 에르미트 다항식 급수로 재구성할 수 있다.

바이어슈트라스 변환을 역변환하는 세 번째 방법은 위에서 언급한 라플라스 변환과의 연결과 라플라스 변환에 대한 잘 알려진 역변환 공식을 활용한다. 그 결과는 아래에 분포에 대해 기술되어 있다.

일반화

 열 방정식 § 기본해 및 열핵 문서를 참고하십시오.

가우스 핵 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},\quad t>0,}$$ 대신 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}},}$$와 합성곱을 사용하여 연산자 W_t, 즉 일반화된 바이어슈트라스 변환을 정의할 수 있다.

${\displaystyle t}$ 값이 작으면, ${\displaystyle W_{t}[f]}$는 ${\displaystyle f}$에 매우 가깝지만 매끄럽다. ${\displaystyle t}$가 클수록 이 연산자는 ${\displaystyle f}$를 더 많이 평균화하고 변화시킨다. 물리적으로 ${\displaystyle W_{t}}$는 ${\displaystyle t}$ 시간 단위 동안 열 (또는 확산) 방정식을 따르는 것에 해당하며, 이는 가산적이다. $${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$ 이는 " ${\displaystyle t}$ 시간 단위 동안 확산한 다음 ${\displaystyle s}$ 시간 단위 동안 확산하는 것은 ${\displaystyle s+t}$ 시간 단위 동안 확산하는 것과 같다"는 의미이다. ${\displaystyle W_{0}}$를 항등 연산자 (즉, 디랙 델타 함수와의 합성곱)로 설정하여 ${\displaystyle t=0}$까지 확장할 수 있으며, 이들은 1-매개변수 반군을 형성한다.

일반화된 바이어슈트라스 변환에 사용되는 핵 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$$는 때때로 가우스-바이어슈트라스 핵(영어: Gauss–Weierstrass kernel)이라고 불리며, ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서의 확산 방정식 $${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0,}$$에 대한 그린 함수이다. ${\displaystyle W_{t}}$는 ${\displaystyle W}$로부터 계산될 수 있다. 함수 ${\displaystyle f(x)}$가 주어졌을 때, 새로운 함수 $${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}}),}$$를 정의하면, $${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}}),}$$이는 치환법의 결과이다.

바이어슈트라스 변환은 특정 종류의 분포 또는 "일반화된 함수"에 대해서도 정의될 수 있다.^[3] 예를 들어, 디랙 델타 함수의 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}.}$$이다. 이러한 맥락에서 엄밀한 역변환 공식이 증명될 수 있다. 예를 들어, $${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz,}$$ 여기서 ${\displaystyle x_{0}}$는 ${\displaystyle F(x_{0})}$가 존재하는 임의의 고정된 실수이고, 적분은 실수부가 ${\displaystyle x_{0}}$인 복소평면의 수직선 위에서 확장되며, 극한은 분포의 의미에서 취해진다.

더 나아가, 바이어슈트라스 변환은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 정의된 실수값 (또는 복소수값) 함수 (또는 분포)에 대해서도 정의될 수 있다. 위와 동일한 합성곱 공식을 사용하지만, 적분은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 전체에 걸쳐 확장되는 것으로 해석하고 표현 ${\displaystyle (x-y)^{2}}$은 벡터 ${\displaystyle x-y}$의 유클리드 길이의 제곱으로 해석한다. 적분 앞의 계수는 가우스 함수가 총 적분 값이 1이 되도록 조정해야 한다.

보다 일반적으로, 바이어슈트라스 변환은 모든 리만 다양체에서 정의될 수 있다. 거기서 열 방정식은 (다양체의 라플라스-벨트라미 연산자를 사용하여) 공식화될 수 있으며, 바이어슈트라스 변환 ${\displaystyle W[f]}$는 초기 "온도 분포" ${\displaystyle f}$에서 시작하여 한 시간 단위 동안 열 방정식의 해를 따름으로써 주어진다.

관련 변환

가우스 함수 대신 핵 ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$와의 합성곱을 고려하면, 바이어슈트라스 변환과 유사한 방식으로 주어진 함수를 평활화하고 평균화하는 푸아송 변환을 얻는다.

같이 보기

• 가우시안 블러
• 가우스 필터
• 후시미 표현
• 열 방정식#기본해

내용주

1. 더 일반적으로, ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$는 어떤 합성곱 변환에 대해서도 고유함수이다.