파이트-톰프슨 정리

수학에서 파이트-톰프슨 정리(Feit–Thompson theorem) 또는 홀수 차수 정리(odd order theorem)는 홀수 차수의 모든 유한 군이 가해군이라는 것을 나타낸다. 이 정리는 1960년대 초 월터 파이트와 존 그리그스 톰프슨이 증명했다.^[1]

역사

홀수 차수 군과 짝수 차수 군 사이에 나타나는 이러한 결과의 대비는 홀수 차수 단순군이 존재하지 않는다는 것을 필연적으로 시사한다.

윌리엄 번사이드 (1911, p. 503 note M)

20세기 초, 윌리엄 번사이드는 모든 비가환 유한 단순군이 짝수 차수를 가진다고 추측했다.^[2] 리하르트 브라우어는 브라우어-파울러 정리가 주어진 대합의 중심화 부분군을 가진 유한 단순군이 유한한 수임을 보여주기 때문에 단순군의 대합의 중심화 부분군을 유한 단순군 분류의 기초로 사용할 것을 제안했다.^[3] 홀수 차수의 군은 대합을 가지지 않으므로, 브라우어의 프로그램을 수행하기 위해서는 비순환 유한 단순군이 결코 홀수 차수를 가지지 않는다는 것을 먼저 보여줄 필요가 있다. 이것은 홀수 차수 군이 가해군임을 보여주는 것과 동등하며, 이는 파이트와 톰프슨이 증명한 내용이다.

번사이드 추측에 대한 공격은 스즈키 미치오가 시작했는데, 그는 CA 군을 연구했다. 이들은 모든 비자명 원소의 Centralizer가 Abelian인 군이다. 그는 선구적인 논문에서 홀수 차수의 모든 CA 군이 가해군임을 보여주었다.^[4] (그는 나중에 모든 단순 CA 군을 분류했고, 더 일반적으로는 모든 대합의 중심화 부분군이 정규 2-실로우 부분군을 가지는 모든 단순군을 분류했으며, 그 과정에서 간과되었던 리 군의 형태의 단순군족(현재는 스즈키 군이라고 불린다)을 발견했다.)

파이트, 톰프슨, 마셜 홀 (수학자)는 스즈키의 작업을 CN 군으로 확장했다. 이들은 모든 비자명 원소의 Centralizer가 Nilpotent인 군이다. 그들은 홀수 차수의 모든 CN 군이 가해군임을 보여주었다. 그들의 증명은 스즈키의 증명과 유사하다.^[5] 이 증명은 당시 군론 증명으로서는 매우 길다고 여겨졌던 약 17페이지 분량이었다.

파이트-톰프슨 정리는 이 과정의 다음 단계로 볼 수 있다. 그들은 모든 고유 부분군이 가해군인 홀수 차수의 비순환 단순군이 없음을 보여준다. 이것은 홀수 차수의 모든 유한군이 가해군임을 증명하는데, 최소 반례는 모든 고유 부분군이 가해군인 단순군이어야 하기 때문이다. 비록 증명은 CA 정리 및 CN 정리와 동일한 일반적인 개요를 따르지만, 세부 사항은 훨씬 더 복잡하다. 최종 논문은 255페이지 길이었고 퍼시픽 수학 저널 13권 3호를 완전히 채웠다.^[6][7]

증명의 중요성

파이트-톰프슨 정리는 모든 비아벨 단순군이 대합을 가지기 때문에 대합의 중심화 부분군을 이용한 유한 단순군의 분류가 가능할 수 있음을 보여주었다. 그들이 증명에서 도입한 많은 기법들, 특히 국소 분석의 개념은 분류에 사용되는 도구로 더욱 발전되었다. 아마도 증명의 가장 혁명적인 측면은 그 길이였을 것이다. 파이트-톰프슨 논문 이전에는 군론에서 몇 페이지를 넘는 논증은 거의 없었으며 대부분 하루 만에 읽을 수 있었다. 군 이론가들이 그러한 긴 논증이 효과를 볼 수 있다는 것을 깨닫자, 수백 페이지에 달하는 일련의 논문들이 등장하기 시작했다. 이들 중 일부는 파이트-톰프슨 논문마저도 왜소하게 만들었다. 마이클 애슈바허와 스티븐 D. 스미스의 준가소 군에 대한 논문은 1,221페이지 길이었다.^[8]

증명의 개정

많은 수학자들이 원래의 파이트-톰프슨 증명의 일부를 단순화했다. 그러나 이 모든 개선점들은 어떤 의미에서는 국소적이다. 논증의 전체 구조는 여전히 동일하지만, 논증의 일부 세부 사항들이 단순화되었다.

단순화된 증명은 두 권의 책으로 출판되었다. Bender & Glauberman (1994)는 군 표현의 지표를 제외한 모든 것을 다루고^[9], Peterfalvi (2000)는 군 표현의 지표를 다룬다.^[10] 이 개정된 증명은 여전히 매우 어렵고, 원래 증명보다 길지만, 더 여유로운 문체로 작성되었다.

조르주 공티에와 마이크로소프트 리서치 및 Inria의 동료 연구원들은 2012년 9월에 Coq 증명 보조기로 검증된 완전히 형식적인 증명을 발표했다.^[11]

증명의 개요

파이트-톰프슨 정리를 직접 설명하는 대신, 스즈키의 CA 정리를 설명하고 CN 정리와 홀수 차수 정리에 필요한 일부 확장에 대해 언급하는 것이 더 쉽다. 증명은 세 단계로 나눌 수 있다. G를 CA 조건을 만족하는 비아벨 (최소) 홀수 차수 단순군이라고 하자.^[12]

1단계. 군 G의 구조에 대한 국소 분석

CA의 경우 "a는 b와 가환한다"는 관계가 비항등 원소에 대한 동치 관계이므로 이 단계는 쉽다. 따라서 원소들은 동치류로 나뉘며, 각 동치류는 최대 아벨 부분군의 비항등 원소 집합이다. 이들 최대 아벨 부분군의 정규화 부분군은 정확히 G의 최대 고유 부분군으로 판명된다. 이들 정규화 부분군은 프로베니우스 군이며, 그 군 표현의 지표 이론은 비교적 명확하며 지표 유도를 포함하는 조작에 적합하다. 또한 |G|의 소인수 집합은 |G|의 최대 아벨 부분군의 서로 다른 켤레류의 차수를 나누는 소수에 따라 분할된다. G의 최대 부분군(켤레까지)에 해당하는 특정 쉴로브 기저의 켤레류에 따라 |G|의 소인수를 분할하는 이러한 패턴은 파이트-홀-톰프슨 CN 정리의 증명과 파이트-톰프슨 홀수 차수 정리의 증명에서 모두 반복된다.

각 최대 부분군 M은 정규화 부분군이 M에 포함되는 특정 멱영 쉴로브 기저 M_σ를 가지며, 그 차수는 σ(M) 집합을 형성하는 특정 소수로 나누어진다. 두 최대 부분군은 σ(M) 집합이 같을 경우에만 켤레이고, 켤레가 아니면 σ(M) 집합은 서로소이다. G의 차수를 나누는 모든 소수는 어떤 σ(M) 집합에 나타난다. 따라서 G의 차수를 나누는 소수는 최대 부분군의 켤레류에 해당하는 동치류로 분할된다.

CN-경우의 증명은 CA-경우보다 이미 상당히 더 어렵다. 주요 추가 문제는 두 개의 다른 실로우 부분군이 항등원에서만 교차함을 증명하는 것이다. 홀수 차수 정리 증명의 이 부분은 100페이지가 넘는 저널 페이지를 차지한다. 핵심 단계는 톰프슨 유일성 정리의 증명으로, 정규 랭크가 3 이상인 아벨 부분군은 유일한 최대 부분군에 포함된다는 것을 나타내며, 이는 실로우 p-부분군이 정규 랭크가 최대 2인 소수 p에 대해 별도로 고려해야 함을 의미한다. 벤더는 나중에 벤더의 방법을 사용하여 유일성 정리 증명을 단순화했다. CN-경우에서 결과 최대 부분군 M이 여전히 프로베니우스 군인 반면, 홀수 차수 정리 증명에 나타나는 최대 부분군들은 더 이상 이러한 구조를 가질 필요가 없으며, 그 구조와 상호작용 분석은 유형 I, II, III, IV, V라고 불리는 5가지 가능한 유형의 최대 부분군을 생성한다.

유형 I 부분군은 "프로베니우스 유형"으로, 프로베니우스 군의 약간 일반화된 형태이며, 사실 증명의 후반부에는 프로베니우스 군임이 밝혀진다. 이들은 M_F⋊U 구조를 가지는데, 여기서 M_F는 가장 큰 정규 멱영 쉴로브 부분군이고, U는 동일한 지수를 가진 부분군 U₀를 가지며 M_F⋊U₀는 커널 M_F를 가진 프로베니우스 군이다. 유형 II, III, IV, V는 모두 3단계 군으로 M_F⋊U⋊W₁ 구조를 가지며, 여기서 M_F⋊U는 M의 유도 부분군이다. 유형 II, III, IV, V로의 세분화는 다음과 같이 부분군 U의 구조와 임베딩에 따라 달라진다.

• 유형 II: U는 비자명 아벨 군이고 그 정규화 부분군은 M에 포함되지 않는다.
• 유형 III: U는 비자명 아벨 군이고 그 정규화 부분군은 M에 포함된다.
• 유형 IV: U는 비아벨 군이다.
• 유형 V: U는 자명하다.

최대 부분군의 두 클래스를 제외하고는 모두 유형 I이지만, 유형 II의 최대 부분군 클래스 하나와 유형 II, III, IV 또는 V의 최대 부분군 클래스 하나가 추가로 있을 수 있다.

2단계. G의 군 표현의 지표 이론

CA 군 G의 최대 아벨 부분군 A의 정규화 부분군 H의 기약 지표 X가 커널에 A를 포함하지 않을 경우, X를 G의 지표 Y로 유도할 수 있으며, Y는 반드시 기약 지표일 필요는 없다. G의 알려진 구조 때문에 G의 항등 원소를 제외한 모든 원소에 대한 Y의 지표 값을 쉽게 찾을 수 있다. 이는 X₁과 X₂가 H의 두 기약 지표이고 Y₁과 Y₂가 해당하는 유도 지표일 때, Y₁ - Y₂가 완전히 결정되며, 그 노름을 계산하면 G의 두 기약 지표의 차이임을 보여준다 (이들은 때때로 H에 대한 G의 예외 지표로 알려져 있다). 계산 인수는 G의 모든 비자명 기약 지표가 G의 어떤 최대 아벨 부분군의 정규화 부분군과 관련된 예외 지표로 정확히 한 번 나타남을 보여준다.

유사한 논증(하지만 아벨 쉴로브 기저를 멱영 쉴로브 기저로 대체)은 CN 정리의 증명에서 작동한다. 그러나 홀수 차수 정리의 증명에서 부분군의 지표로부터 G의 지표를 구성하는 논증은 훨씬 더 섬세하며, 최대 부분군이 더 복잡한 구조를 가지고 덜 명확하게 임베딩되어 있기 때문에 지표 유도 대신 지표 환 사이의 데이드 등거리 사상을 사용한다. 예외 지표 이론은 데이드 등거리 사상을 확장하기 위해 일관된 지표 집합 이론으로 대체된다. 대략적으로 말하면, 이 이론은 관련 군들이 특정 정확한 구조를 가지지 않는 한 데이드 등거리 사상이 확장될 수 있다고 말한다.^[13]

3단계. 최종 모순

2단계에 따르면, CA 군 G의 지표표에 대한 완전하고 정확한 설명이 있다. 이를 바탕으로 G가 홀수 차수를 가진다는 사실을 이용하여 |G|를 추정하고 G가 단순군이라는 가정과 모순을 도출하기에 충분한 정보가 얻어진다. 이 논증의 부분은 CN-군 경우와 유사하게 작동한다.

그러나 파이트-톰프슨 정리의 증명에서는 이 단계가 (늘 그렇듯이) 훨씬 더 복잡하다. 지표 이론은 1단계 후에 남은 가능한 구성 중 일부만을 제거한다. 먼저 유형 I의 최대 부분군이 모두 프로베니우스 군임을 보여준다. 만약 모든 최대 부분군이 유형 I이라면 CN 경우와 유사한 논증은 군 G가 홀수 차수 최소 단순군일 수 없음을 보여주므로, 유형 II, III, IV 또는 V의 최대 부분군 클래스가 정확히 두 개 존재한다. 증명의 나머지 대부분은 이제 이러한 두 유형의 최대 부분군 S와 T 그리고 그들 사이의 관계에 초점을 맞춘다. 더 많은 지표 이론적 논증은 그들이 유형 IV 또는 V일 수 없음을 보여준다. 두 부분군은 정확한 구조를 가지는데, 부분군 S는 p^q×q×(p^q–1)/(p–1) 차수를 가지며, 차수 p^q의 유한체의 기본 집합의 모든 자기동형사상 x→ax^σ+b로 구성되는데, 여기서 a는 노름 1을 가지고 σ는 유한체의 자기동형사상이며, p와 q는 서로 다른 소수이다. 최대 부분군 T는 p와 q가 역전된 유사한 구조를 가진다. 부분군 S와 T는 밀접하게 연결되어 있다. p>q라고 가정하면, S의 차수 (p^q–1)/(p–1)인 순환 부분군이 T의 차수 (q^p–1)/(q–1)인 순환 부분군의 부분군과 켤레임을 보여줄 수 있다. (특히, 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자를 나누므로, 만약 파이트-톰프슨 추측이 참이라면, 이러한 일이 일어날 수 없다고 주장할 것이며, 이는 이 시점에서 증명을 마무리하는 데 사용될 수 있다. 그러나 이 추측은 아직 증명되지 않았다.^[14])

군 G에 지표 이론을 적용한 결론은 G가 다음과 같은 구조를 가진다는 것이다. p>q인 소수가 존재하며 (p^q–1)/(p–1)은 p–1과 서로소이고, G는 반직접곱 PU로 주어지는 부분군을 가지는데, P는 차수 p^q의 유한체의 덧셈군이고 U는 노름 1을 가진 원소들이다. 더욱이 G는 p와 서로소인 차수를 가진 아벨 부분군 Q를 포함하며, P₀가 Q를 정규화하고 (P₀)^y가 U를 정규화하는 원소 y를 포함한다. 여기서 P₀는 차수 p의 유한체의 덧셈군이다. (p=2일 경우, 유사한 구성이 SL₂(2^q) 군에서 발생하며, PU는 상삼각 행렬의 보렐 부분군이고 Q는 ${\displaystyle \scriptstyle y=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$에 의해 생성된 차수 3의 부분군이다.) 이 마지막 경우를 제거하기 위해 톰프슨은 생성원과 관계를 사용하여 매우 복잡한 조작을 사용했으며, 이는 나중에 Peterfalvi (1984)에 의해 단순화되었다.^[15] 증명은 차수 p^q의 유한체에서 a와 2-a 모두 노름 1을 가지는 원소 a의 집합을 검토한다. 먼저 이 집합이 1 외에 적어도 하나의 원소를 가진다는 것을 확인한다. 그런 다음 군 G에서 생성원과 관계를 사용하는 다소 어려운 논증은 이 집합이 역수를 취하는 연산에 대해 닫혀 있음을 보여준다. 만약 a가 집합에 있고 1이 아니면, 다항식 N((1–a)x+1)–1은 q차수이고 F_p의 원소 x에 의해 주어진 적어도 p개의 서로 다른 근을 가지는데, 이는 x→1/(2–x)가 이 집합을 자신에게 매핑한다는 사실을 사용하여, p≤q이므로 p>q라는 가정과 모순된다.

홀수성의 사용

군 G의 차수가 홀수라는 사실은 증명의 여러 곳에서 다음과 같이 사용된다. (Thompson 1963)

• 홀-히그먼 정리는 홀수 차수 군에 대해 더 날카롭다.
• 홀수 차수 군의 경우, 모든 비주요 지표는 복소 켤레 쌍으로 나타난다.
• p-군에 대한 몇 가지 결과는 홀수 소수 p에 대해서만 성립한다.
• 홀수 차수 군이 랭크 3의 초등 아벨 부분군을 가지지 않으면, 그 유도군은 멱영군이다. (이는 짝수 차수 대칭군 S₄에는 해당되지 않는다.)
• 지표 이론을 포함하는 몇 가지 논증은 작은 소수, 특히 소수 2에 대해 실패한다.