Основна теорема на анализата

Во математиката, поточно во математичката анализа, алтернативен назив за формулата на Њутн-Лајбниц. Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл, односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

Црвената засенчана област е блиску до -{h}- патот -{f(x)}-. Атернативно кога функциите A(x) би биле познати, и двете површини би биле A(x + h) − A(x). Овие две вредности се апроксимативно еднакви, особено за малото -{h}-.

Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц, првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638-1675.

Формулација на теоремата

Формално, теоремата е зададена на следниов начин:

• Нека ${\displaystyle \ [a,b]\subseteq \mathbb {R} }$ е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција ${\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} }$, нека оваа функција е интеграбилна на ${\displaystyle \ [a,b]}$ и нека функцијата ${\displaystyle \ F}$ е примитивна функција за ${\displaystyle \ f}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$. Тогаш важи равенството:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

или почесто запишано како:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}}$

Доказ

Доказот на тврдењето е следниов:

Нека ${\displaystyle \ \epsilon >0}$ е фиксен. Бидејќи функцијата ${\displaystyle \ f(x)}$ е интеграбилна на интервалот ${\displaystyle \ [a,b]}$, според Римановата дефиниција на определен интеграл, за тој ${\displaystyle \ \epsilon }$, постои ${\displaystyle \ \delta >0}$ такво што за секоја поделба ${\displaystyle T:\,\,a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b\,\,\,}$ на интервалот и секој избор на точките ${\displaystyle \ \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$ важи:

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Нека ${\displaystyle \ F(x)}$ е примитивна функција на функцијата ${\displaystyle \ f(x)}$ на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки ${\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$ така што важи:

${\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=F^{\prime }(\psi _{i})(x_{i+1}-x_{i})}$

односно, бидејќи ${\displaystyle \ F}$ е примитивна на ${\displaystyle \ f}$, може да запишеме:

${\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=f(\psi _{i})(x_{i+1}-x_{i})}$

Тогаш, ако сумираме за ${\displaystyle i=0,1,2,...,n-1}$, следи:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}=F(b)-F(a)}$

Од друга страна и точките ${\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$ се „произволни“, исто како и точките ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$, па и за нив е исполнето неравенството:

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

Тогаш, конечно, имаме:

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-(F(b)-F(a))\right|=\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}\right|=}$

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}+\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq }$

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|+\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$

од каде следи:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}}$,

каде ${\displaystyle \ F}$ е една примитивна функција на ${\displaystyle \ f}$ на интервалот ${\displaystyle [a,b]}$. Со тоа доказот е завршен.