Теорема на Вивијани

Теоремата на Вивијани, именувана по Винченцо Вивијани, наведува дека збирот од најкратките растојанија од која било внатрешна точка до страните на рамностран триаголник е еднаков на должината на висината на триаголникот.^[1] Тоа е теорема која најчесто се користи на разни математички натпревари, испити по математика во средно училиште и има широка применливост за многу проблеми во реалниот свет.

За која било внатрешна точка P на рамностран триаголник, збирот од должините на нормалите s + t + u е еднаков на висината на триаголникот.

Доказ

Нагледен доказ на Теоремата на Вивијани

1.	Прикажани се најкратките растојанија од точката P до страните на рамностран триаголник ABC.
2.	Линиите DE, FG, и HI напоредни на AB, BC and CA, соодветно, и кои поминуваат низ P ги определуваат триаголниците PHE, PFI и PDG.
3.	Со оглед дека овие триаголници се рамнострани, нивните висини може да се завртат (заротираат) за да бидат вертикални.
4.	Како PGCH е паралелограм, триаголникот PHE може да се помести (лизне) нагоре за да се покаже дека сумата на висините е еднаква на сумата од висините од триаголникот ABC.

Овој доказ зависи од лесно докажаното тврдење дека плоштината на триаголникот е половина од неговата основа помножена со неговата висина - односно половина од производот на едната страна со висината на таа страна.^[2]

Нека ABC е рамностран триаголник чија висина е h и страна е a.

Нека P е која било точка во триаголникот, а s, t, u се нормалните растојанија на P до страните. Со повлекување линија од P до секое од A, B и C, се образуваат три триаголници PAB, PBC и PCA.

Сега, плоштините на овие триаголници се ${\displaystyle {\frac {u\cdot a}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {s\cdot a}{2}}}$, и ${\displaystyle {\frac {t\cdot a}{2}}}$ . Тие точно го исполнуваат затворениот триаголник, па затоа збирот од овие површини е еднаков на површината на затворениот триаголник. Значи, може да се напише:

${\displaystyle {\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}}$

од каде доаѓа:

${\displaystyle u+s+t=h}$

Q.E.D.

Обратно

Исто така важи и обратното: Ако збирот на растојанијата од внатрешната точка на триаголникот до страните е независен од местоположбата на точката, триаголникот е рамностран.^[3]

Примени

Дијаграм на запаливост на метан

Вивијаниовата теорема значи дека линиите напоредни со страните на рамностран триаголник даваат координати за правење тернарни дијаграми, како што се дијаграмите на запаливост.

Поопшто, тие овозможуваат да се дадат координати на правилен симплекс на ист начин.

Проширување на други геометриски ликови и тела

Паралелограм

Збирот на растојанијата од која било внатрешна точка на паралелограм до страните е независен од местоположбата на точката. Исто така важи и обратното: Ако збирот на растојанијата од точка во внатрешноста на четириаголник до страните е независен од местоположбата на точката, тогаш четириаголникот е паралелограм.^[3]

Резултатот се обопштува на било кои 2n-аголници со напоредник спротивни страни. Бидејќи збирот на растојанијата помеѓу кој било пар спротивни напоредни страни е константен, следува дека збирот на сите парни суми помеѓу паровите напоредни страни е исто така константен. Обратното не е точно во општ случај, бидејќи резултатот важи за рамностран шестоаголник, кој не мора нужно да има напоредни спротивни страни.

Правилен многуаголник

Ако многуаголникот е правилен (и рамноаголен и рамностран), збирот на растојанијата до страните од внатрешната точка е независен од местоположбата на точката. Поточно, тоа е еднакво на n пати повеќе од апотемата, каде што n е бројот на страни, а апотемата е растојанието од средиштето до страната.^[3][4] Сепак, обратното не важи; паралелограм што не е квадрат е контрапример.^[3]

Рамноаголен многуаголник

Збирот на растојанијата од внатрешната точка до страните на рамноаголен многуаголник не зависи од местоположбата на точката.^[1]

Конвексен многуаголник

Неопходен и доволен услов за конвексен многуаголник да има константен збир на растојанија од која било внатрешна точка до страните е да постојат три неколинеарни внатрешни точки со еднакви збирови на растојанија.^[1]

Правилен полиедар

Збирот на растојанијата од која било точка во внатрешноста на правилен полиедар до страните е независен од местоположбата на точката. Меѓутоа, обратното не важи, дури ни за тетраедрите.^[3]