Loading AI tools
manier om meetkundige figuren te tekenen Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een constructie met passer en liniaal is het construeren van een bepaalde figuur, lengte, hoek of punt in het euclidische vlak met alleen een passer en liniaal.
Constructies die niet met deze middelen konden worden uitgevoerd werden door de Grieken uit de klassieke oudheid, en in hun navolging tot in de twintigste eeuw, niet als bevredigend ervaren. De constructies zijn in zekere zin opnieuw actueel geworden door het gebruik van dynamische meetkundesoftware, waarin dergelijke constructies kunnen worden uitgevoerd.
Voorbeelden van constructies met passer en liniaal zijn:
De meetkundige beperkingen die door de oude Grieken aan het gebruik van de passer en liniaal stelden grijpen terug naar de Elementen van Euclides:
Een oplossing moet exact zijn, benaderingsconstructies gelden niet als oplossing. Daarom moet een goede constructie altijd gepaard gaan met een analyse.
Met deze werktuigen zijn de volgende bewerkingen met gegeven getallen op een getallenlijn, dus met gegeven eenheid, mogelijk:
De beperking dat een passer niet gebruikt mag worden om lengtes over te brengen is trouwens betekenisloos, dit kan met een constructie toch gedaan worden.
De Grieken slaagden er niet in de volgende problemen met constructies op te lossen:
Het lukte hun ook niet om bepaalde regelmatige veelhoeken te construeren, zoals de regelmatige zevenhoek en de regelmatige negenhoek.
Carl Friedrich Gauss bewees in 1796 in zijn Disquisitiones arithmeticae dat regelmatige veelhoeken construeerbaar zijn met passer en liniaal als het aantal hoeken het product is van een macht van 2 en een aantal verschillende Fermat-priemgetallen. De Franse wiskundige Pierre Wantzel bewees in 1837 vervolgens dat dit de enige construeerbare regelmatige veelhoeken zijn en toonde aan dat de driedeling van de hoek en de verdubbeling van de kubus onmogelijk zijn.[1] De onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel volgde in 1882 toen Ferdinand von Lindemann bewees dat pi een transcendent getal is.[2]
De resultaten van Gauss en Wantzel leidden tot de stelling van Gauss-Wantzel: Een regelmatige -hoek kan met passer en ongemerkte liniaal worden geconstrueerd desda is het product van een macht van en van een aantal, geen mag ook, verschillende Fermat-priemgetallen.
In formule: voor gehele : als , dan
Ondanks de overtuigende wiskundige bewijzen blijven er mensen zoeken naar constructies voor de klassieke Griekse problemen. Overigens is door verruiming van de eisen, bijvoorbeeld door het toestaan van neusis, een aantal van de anders onmogelijke constructies wel uit te voeren. Er zijn met origami meer mogelijkheden dan met de klassieke constructies. Het driedelen van de hoek en verdubbeling van de kubus zijn daarbij wel mogelijk.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.