Euclidische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de euclidische groep ${\displaystyle E(n)}$, soms ook wel ${\displaystyle \mathrm {ISO} (n)}$ genoemd, de symmetriegroep van de ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte. De elementen van deze groep, de isometrieën geassocieerd met de euclidische metriek, dus met de definite voor afstand, worden euclidische isometrieën genoemd. Ze zijn van de vorm ${\displaystyle f(x)=Ax+b}$ met ${\displaystyle A}$ een orthogonale matrix, dat wil zeggen ${\displaystyle A^{-1}=A^{T}}$.

De groep is een ondergroep van de affiene groep ${\displaystyle \mathrm {Aff} (n)}$.

De euclidische groepen werden eerder dan groepen in het algemeen bestudeerd, dus tellen onder de oudste en meest bestudeerde groepen, althans voor het geval van de dimensies 2 en 3.

Poincaré-groepen zijn een vervolg op de euclidische groepen en worden in de relativiteitstheorie gebruikt.

Ondergroepen

Enkele belangrijke ondergroepen zijn:

• orthogonale groep ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ van de vorm ${\displaystyle f(x)=Ax}$, de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft
• speciale euclidische groep ${\displaystyle \mathrm {SE} (n)}$, de directe isometrieën. Dit zijn voor ${\displaystyle n=3}$ de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam.
• speciale orthogonale groep ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft. Dit zijn voor ${\displaystyle n=2}$ de draaiingen om de oorsprong, voor ${\displaystyle n=3}$ de draaiingen om een as door de oorsprong.

Vrijheidsgraden

Het aantal vrijheidsgraden voor ${\displaystyle E(n)}$ is ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$.

Van het aantal vrijheidsgraden kunnen er ${\displaystyle n}$ aan de beschikbare translatiesymmetrie worden toegeschreven en de resterende ${\displaystyle n(n-1)/2}$ aan de rotatiesymmetrie.

De groep ${\displaystyle E(2)}$ heeft dus drie vrijheidsgraden en ${\displaystyle E(3)}$ heeft er 6.