Normale matrix

In de lineaire algebra is een normale matrix een vierkante matrix van complexe getallen waarvan de eigenvectoren onderling loodrecht op elkaar staan.

Dat betekent dat een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ over de complexe getallen normaal is als ${\displaystyle A}$ en de geconjugeerde getransponeerde matrix ${\displaystyle A^{*}}$ ervan commutatief zijn:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

De geconjugeerde getransponeerde matrix ${\displaystyle A^{*}}$^[1] heeft als elementen de complex geconjugeerde elementen van de getransponeerde matrix van ${\displaystyle A}$

Een complexe matrix ${\displaystyle A}$ is dan en slechts dan normaal wanneer ${\displaystyle A}$ gelijksoortig met een diagonaalmatrix ${\displaystyle D}$ is, dus zodat er een matrix ${\displaystyle U}$ is waarvoor ${\displaystyle A=U^{-1}DU}$. De matrix ${\displaystyle U}$ moet een unitaire matrix zijn.

Dit betekent dat ${\displaystyle A}$ door een geschikte rotatie van de complexe basisvectoren in een diagonaalmatrix overgaat. Met andere woorden: ${\displaystyle A}$ is dan en slechts dan normaal als er een diagonaalmatrix ${\displaystyle D}$ en een unitaire matrix ${\displaystyle U}$ bestaan, zodanig dat ${\displaystyle A=U^{-1}DU}$. Voor een reële normale matrix kan dit een complexe rotatie naar niet-reële basisvectoren zijn. De kolommen van ${\displaystyle U^{-1}}$ zijn de eigenvectoren van ${\displaystyle A}$

Voorbeelden

• Alle complexe veelvouden van de eenheidsmatrix zijn normaal, omdat ze met alle matrices commutatief zijn.

• Iedere hermitische matrix is normaal, omdat daarvoor geldt dat ${\displaystyle A^{*}=A}$. Om dezelfde reden zijn anti-hermitische matrices, waarvoor ${\displaystyle A^{*}=-A}$, normaal. Reële symmetrische en antisymmetrische matrices zijn hiervan bijzondere gevallen.

• Iedere unitaire matrix is normaal. Een matrix is unitair wanneer ${\displaystyle A^{*}A=I}$. Door van beide leden de geconjugeerde getransponeerde te nemen, wordt dit ${\displaystyle AA^{*}=I}$. Onder de reële matrices zijn dit de orthogonale matrices.

• Er bestaan ook normale matrices die niet tot een van deze bijzondere verzamelingen behoren, bijvoorbeeld

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

is normaal omdat

${\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\ }$ en

${\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A}$

• De verzameling van normale matrices is noch voor de optelling, noch voor de matrixvermenigvuldiging gesloten. Als evenwel twee normale matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ commutatief zijn, dan zijn hun som en product ook normaal. Dit doet zich voor als ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ gelijksoortige matrices zijn, dus zodat ${\displaystyle A=U^{-1}BU}$ met ${\displaystyle U}$ een unitaire matrix.

Eigenschappen

• Een reële matrix ${\displaystyle A}$ is normaal dan en slechts dan als ${\displaystyle A}$ en de getransponeerde ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ van ${\displaystyle A}$ commutatief zijn:

${\displaystyle A^{\text{T}}A=AA^{\text{T}}}$

• Een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als de eigenvectoren ervan loodrecht op elkaar staan. Hierbij wordt loodrecht geïnterpreteerd in termen van het standaardinproduct op de complexe n-dimensionale ruimte.

• Een complexe matrix ${\displaystyle A}$ is dan en slechts dan normaal als ${\displaystyle A}$ en de hermitische matrix ${\displaystyle A^{*}}$ van ${\displaystyle A}$ commutatief zijn:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

• Een willekeurige vierkante matrix ${\displaystyle A}$ heeft een polaire ontbinding ${\displaystyle A=UP}$, waarin ${\displaystyle U}$ een unitaire matrix is en ${\displaystyle P}$ een positief semi-definiete matrix. Als ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is, zijn ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle P}$ eenduidig bepaald. Als ${\displaystyle A}$ normaal is, dan zijn ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle P}$ commutatief.

• Een driehoeksmatrix die normaal is is een diagonaalmatrix.