Distributiv lov

En distributiv lov er i matematikk et teorem eller et aksiom som sier at en gitt binær operasjon A i en mengde M er distributiv med hensyn på en annen binær operasjon B. Dette er tilfelle dersom de to operasjonene oppfyller relasjonen

${\displaystyle uA(vBw)=(uAv)B(uAw).\,}$

for all u, v og w i mengden M.^[1]

I mengden av reelle tall er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon:

${\displaystyle 3\times (7+4)=(3\times 7)+(3\times 4).\,}$

En distributive lov gir en relasjon mellom to operasjonene når de opptrer sammen i et matematisk uttrykk. Relasjonen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonene. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon av reelle tall.^[2]

En algebraisk struktur er distributiv dersom den har to binære operasjoner som oppfyller en distributiv lov.

Formell definisjon

Gitt en mengde S og to binære operasjoner ${\displaystyle \otimes }$ og ${\displaystyle \oplus }$.

Operasjonen ${\displaystyle \otimes }$ er venstresidig distributiv med hensyn på ${\displaystyle \oplus }$ dersom

${\displaystyle x\otimes (y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in S.}$

Operasjonen ${\displaystyle \otimes }$ er høyresidig distributiv med hensyn på ${\displaystyle \oplus }$ dersom

${\displaystyle (y\oplus z)\otimes x=(y\otimes x)\oplus (z\otimes x)\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in S.}$

Operasjonen ${\displaystyle \otimes }$ er distributiv med hensyn på ${\displaystyle \oplus }$ dersom den er både venstresidig og høyresidig distributiv. Egenskapen kan også uttrykkes som at ${\displaystyle \otimes }$ distribuerer over ${\displaystyle \oplus }$.

Eksempler

• I mengden av reelle og komplekse tall er multiplikasjon distributiv med hensyn addisjon og subtraksjon. Det motsatte er ikke tilfelle.

• I mengden av reelle tall er maksimumsoperasjonen distributiv over minimumsoperasjonen - og også omvendt:

${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\,}$

${\displaystyle \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c))\,}$

• I mengden av reelle tall er addisjon distributiv over både maksimum- og minimumsoperasjonen:

${\displaystyle a+\max(b,c))=\max(a+b,a+c)\,}$

${\displaystyle a+\min(b,c))=\min(a+b,a+c)\,}$

• I mengdelære er operasjonen union distributiv med hensyn på snittet - og også omvendt:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{matrix}}\quad \right\}{\mbox{for alle mengder }}A,B,C.}$

• Kryssproduktet av to vektorer i R³ er distributivt med hensyn på vektoraddisjon:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} \neq \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\end{matrix}}\right\}{\mbox{for alle }}\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbf {R} }$

Distributivitet i matematiske strukturer

• I en kropp er både multiplikasjonen distributiv med hensyn på addisjonen. Det samme gjelder for en ring.

• I en algebra er produktet distributivt med hensyn på vektoraddisjonen.

• I et vektorrom er skalarmultiplikasjon distributiv med hensyn på vektoraddisjon.

Se også

• Assosiativ lov
• Kommutativ lov