Znak plus-minus

Znak plus-minus (±) jest symbolem o wielu znaczeniach.

• W matematyce – zazwyczaj oznacza wybór dokładnie dwóch wartości, z których jedną można uzyskać poprzez dodawanie, a drugą poprzez odejmowanie^[1][2].
• W naukach eksperymentalnych – oznacza przedział ufności lub rachunek błędów w pomiarze (m.in.: błąd standardowy oraz odchylenie standardowe)^[3]. Może również przedstawiać odczytywalny przedział wartości.
• W inżynierii – oznacza tolerancję, będącą przedziałem wartości uznawanych za akceptowalne, bezpieczne lub zgodne z ustalonym standardem lub kontraktem^[4].
• W botanice – używany w opisach morfologicznych, oznacza „mniej więcej”.
• W chemii – używany do mieszanin racemicznych^[5].
• W szachach – oznacza widoczną przewagę białych; znak ∓ oznacza widoczną przewagę czarnych^[6].

Ten artykuł dotyczy znaku matematycznego. Zobacz też: program telewizyjny o takiej nazwie i magazyn Plus Minus.

±

Historia

Wersja znaku plus-minus, łącznie z francuskim słowem ou („lub”), była użyta przez matematyka Alberta Girarda w 1626 roku. Współczesna forma była użyta już w 1631 roku w Clavis Mathematicae Williama Oughtreda^[7].

Użycie

Matematyka

We wzorach matematycznych znak ± może zostać zastosowany jako zastępstwo znaków + i -. Pozwala to przedstawić dwie wartości lub równania naraz^[8].

Przykładowo, jednym ze sposobów na zapisanie wyniku równania ${\displaystyle x^{2}=9,}$ może być ${\displaystyle x=\pm 3.}$ Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania, które można otrzymać poprzez zastąpienie ${\displaystyle x=\pm 3}$ przez ${\displaystyle x=+3}$ lub ${\displaystyle x=-3.}$ Tylko jedno z tych dwóch zastąpionych równań jest prawdziwe dla dowolnego prawidłowego rozwiązania.

Użycie tego typu notacji można zobaczyć we wzorze na miejsce zerowe funkcji kwadratowej:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Opisuje on dwa rozwiązania równania kwadratowego: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Również tożsamość trygonometryczna:

${\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)}$

może być zinterpretowana jako skrót dla dwóch równań: jednego z + po obu stronach równania, oraz jednego z - po obu stronach równania. Obie kopie znaku ± w tej tożsamości muszą być zastąpione w ten sam sposób: nie można zamienić jednego z nich na +, a drugiego na -. W przeciwieństwie do funkcji kwadratowej, oba równania tożsamości są tak samo poprawne.

Znak minus-plus (∓) jest zazwyczaj używany w połączeniu ze znakiem ±, w wyrażeniach takich jak: ${\displaystyle x\pm y\mp z}$

• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ może oznaczać ${\displaystyle x+y-z}$ oraz ${\displaystyle x-y+z}$

• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ nie może oznaczać ${\displaystyle x+y+z}$ oraz ${\displaystyle x-y-z}$
• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ można zapisać jako ${\displaystyle x\pm (y-z),}$ aby uniknąć nieporozumienia, jednak w przypadku tożsamości najlepiej używać znaku ∓

Przykładowo: ${\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)}$

reprezentuje dwa równania:

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos(A)cos(B)-\sin(A)\sin(B),}$

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos(A)cos(B)+\sin(A)\sin(B).}$

Innym przykładem, w którym pojawia się znak ∓, jest: ${\displaystyle x^{3}\pm 1=(x\pm 1)(x^{2}\mp x+1).}$

Jeszcze jedno pokrewne zastosowanie można zauważyć we wzorze na sinus szeregu Taylora:

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\dots }$

W tym przypadku znak ± zaznacza, że termin może być dodany lub ujęty, w zależności od tego czy ${\displaystyle n}$ jest parzyste, czy nieparzyste. Innym sposobem zapisania tego samego wzoru byłoby pomnożenie każdego elementu przez ${\displaystyle (-1)^{n}.}$

Statystyka

Znak ± używany jest najczęściej przy przybliżonym przedstawianiu wartości liczbowej ilości, razem z jej tolerancją lub ze statystycznym marginesem błędu^[3]. Przykładowo, ${\displaystyle 5{,}7\pm 0{,}2}$ może znajdować się w dowolnym miejscu w zakresie od 5,5 do 5,9. W użyciu naukowym, ± odnosi się czasem do prawdopodobieństwa znalezienia się w podanym przedziale, odpowiadającym 1 lub 2 odchyleniom standardowym (68,3% lub 95,4% prawdopodobieństwo w rozkładzie Gaussa).

Operacje zawierające niepewne wartości powinny dążyć do zatrzymania niepewności, aby unikać propagacji błędu.

Szachy

Symbole ± oraz ∓ są używane w notacji szachowej aby określić przewagę białych lub czarnych. Zazwyczaj używane są one do pokazania większej przewagi, niż w przypadku użycia + i −.

Kodowanie i wpisywanie

Kodowanie

	±	∓
ISO 8859-1, -7, -8, -9, -13, -15, -16	U+00B1 ± PLUS-MINUS SIGN	U+2213 ∓ MINUS-OR-PLUS SIGN
Unikod	code 0xB1hex
HTML	± ±	∓ ∓
TeX	\pm	\mp

Wpisywanie

Windows	Alt+241 lub Alt+0177	numery wpisywane za pomocą klawiatury numerycznej
Macintosh	⌥ Option+⇧ Shift+=	znak równości wpisywany za pomocą klawiatury nienumerycznej
Unix	Compose,+,-
AutoCAD	%%p	skrót klawiszowy

Podobne znaki

Symbol plus-minus przypomina chińskie znaki 土 („ziemia”) oraz 士 („uczeń”; „kawaler”).

Przypisy

1. Compendium of Mathematical Symbols [online], Math Vault, 1 marca 2020 [dostęp 2020-09-05] (ang.).
2. Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Plus or Minus, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-09-05] (ang.).
3. George W.G.W. Brown George W.G.W., Standard Deviation, Standard Error, „American Journal of Diseases of Children”, 136 (10), 1982, s. 937, DOI: 10.1001/archpedi.1982.03970460067015, ISSN 0002-922X [dostęp 2020-09-05].
4. Engineering Tolerances | Limits, Fits and GD&T Explained [online], Fractory, 31 lipca 2020 [dostęp 2020-09-05] (ang.).
5. Jeffrey L.J.L. Bada Jeffrey L.J.L., Racemic Mixture, 2015. Brak numerów stron w książce
6. JamesJ. Eade JamesJ., Chess For Dummies, Wiley, 5 sierpnia 2005, ISBN 978-0-471-77433-4 [dostęp 2020-09-05] (ang.). Brak numerów stron w książce
7. FlorianF. Cajori FlorianF., A History of Mathematical Notations, Courier Corporation, 1993, ISBN 978-0-486-67766-8 [dostęp 2020-09-05] (ang.).1 stycznia Brak numerów stron w książce
8. Definition of PLUS/MINUS SIGN [online], www.merriam-webster.com [dostęp 2020-09-05] (ang.).