Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe, równanie drugiego stopnia^[1][2] – rodzaj równania, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze i opcjonalnie też w pierwszej. Zazwyczaj równanie kwadratowe w domyśle ma jedną niewiadomą – wtedy zawsze sprowadza się do postaci^[3]:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq 0.}$

Ten artykuł dotyczy równań kwadratowych i ich rozwiązań. Zobacz też: funkcja kwadratowa, gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście.

Wzór na rozwiązania równania kwadratowego, gdzie ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ to współczynniki postaci ogólnej. Wyrażenie pod pierwiastkiem jest znane jako wyróżnik równania kwadratowego, trójmianu kwadratowego lub funkcji kwadratowej. Wyróżnik bywa oznaczany dużą grecką literą delta: ${\displaystyle \Delta }$

Założenie ${\displaystyle a\neq 0}$ oznacza, że do równań kwadratowych nie zalicza się równań liniowych. Powyższe równanie nie jest jedyną definicją równania kwadratowego o jednej niewiadomej – istnieją też definicje równoważne, ponieważ wyrażenie po lewej zawsze da się przekształcić do innej postaci^[4].

Niewiadoma ${\displaystyle x}$ i wielkości ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ mogą być liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$ lub elementami dowolnej innej struktury, w której występują dodawanie i mnożenie. W tym artykule opisano głównie równania kwadratowe o zmiennych rzeczywistych. Jest to standardowy element wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo równania kwadratowe tego typu znalazły się w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym^[5]. Równania kwadratowe stosuje się między innymi w geometrii, na przykład planimetrii^[6].

Równania kwadratowe w powyższym sensie mają uogólnienia opisane w odpowiedniej sekcji.

Definicje

W opisie równań kwadratowych z jedną niewiadomą używa się kilkunastu terminów – nazwanych pojęć.

Rozwiązania

• Rozwiązanie równania to każda liczba, która po podstawieniu w miejsce ${\displaystyle x}$ i wykonaniu wszystkich działań daje równość. Inna nazwa rozwiązania to pierwiastek^[3];
• jeśli istnieje tylko jedno rozwiązanie, to bywa znane jako pierwiastek podwójny^[3].

Postać ogólna

Dla równania kwadratowego z jedną niewiadomą postać ogólna to ta wspomniana wyżej^[7]:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq 0.}$

• wyrażenie po lewej jest też znane jako trójmian kwadratowy^[8][7]; bliżej opisuje je artykuł o funkcjach kwadratowych;
• wielkości ${\displaystyle a,b,c}$ to współczynniki^[9][10], kolejno: kwadratowy, liniowy i stały. Ten ostatni to inaczej wyraz wolny^[11];
• jeśli wszystkie współczynniki są niezerowe, tzn. także ${\displaystyle b\neq 0}$ i ${\displaystyle c\neq 0,}$ to równanie kwadratowe nazywa się zupełnym. W przeciwnym wypadku – czyli kiedy ${\displaystyle b=0}$ lub ${\displaystyle c=0}$ – równanie kwadratowe nazywa się niezupełnym^[7]. Ta druga nazwa opisuje dwa rodzaje równań:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+c&=0\ (b=0),\\ax^{2}+bx&=0\ (c=0).\end{aligned}}}$

Inne postacie

• Dla każdego trójmianu kwadratowego istnieje równoważna postać kanoniczna^[4], przez co mówi się też o postaci kanonicznej równania kwadratowego:

${\displaystyle a(x-p)^{2}+q=0.}$

Dalsze sekcje opisują:

• jak znajdować postać kanoniczną na podstawie tej ogólnej;
• jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej.

• Dla niektórych trójmianów kwadratowych – i przez to też równań kwadratowych – istnieje postać iloczynowa:

${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0.}$

Liczby ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ to rozwiązania – podstawione pod ${\displaystyle x}$ sprawiają, że lewa strona równości jest równa zeru^[12].

• W szczególności rozwiązania mogą być równe, tzn. może występować wspomniany wyżej pierwiastek podwójny: ${\displaystyle x_{1}=x_{2},}$ oznaczany też przez ${\displaystyle x_{0}.}$ Wtedy postacią iloczynową równania jest^[12]:

${\displaystyle a(x-x_{0})^{2}=0.}$

W tym wypadku postać iloczynowa pokrywa się z kanoniczną: ${\displaystyle p=x_{0},}$ ${\displaystyle q=0.}$

• Wyrażenia ${\displaystyle (x-x_{1})}$ i ${\displaystyle (x-x_{2})}$ występujące w postaci iloczynowej są znane jako czynniki liniowe^[12].
• Znajdowanie postaci iloczynowej to inaczej rozkład na czynniki liniowe^[12][13].

Równania kwadratowe niezupełne

Brak wyrazu wolnego

Najłatwiej rozwiązać równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego, czyli postaci:

${\displaystyle ax^{2}+bx=0,\ a\neq 0.}$

Wystarczy skorzystać z rozdzielności mnożenia, czyli zamienić sumę iloczynów na jeden iloczyn:

${\displaystyle x(ax+b)=0.}$

Ta czynność bywa nazywana wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias. Następnie wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn może być zerowy tylko gdy któryś czynnik jest zerowy. Stąd dwa rozwiązania^[14]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0,\\ax_{2}+b&=0,\\x_{2}&=-{\tfrac {b}{a}}.\end{aligned}}}$

Brak członu liniowego

Drugi rodzaj równań kwadratowych niezupełnych jest postaci:

${\displaystyle ax^{2}+c=0,\ a\neq 0.}$

Można je przekształcić, wykonując działania na obu stronach równości:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\tfrac {c}{a}}.\end{aligned}}}$

Liczba rozwiązań rzeczywistych zależy tu od znaku prawej strony:

• jeśli jest ujemna ${\displaystyle (<0)}$ – tzn. ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle c}$ mają zgodne znaki – to takich rozwiązań nie ma ${\displaystyle (x\notin \mathbb {R} );}$
• jeśli jest dodatnia ${\displaystyle (>0)}$ – tzn. ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle c}$ mają przeciwne znaki – to ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Dzięki temu rozwiązania są dwa:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {-{\tfrac {c}{a}}}}.\end{aligned}}}$

Dwa powyższe rozwiązania można też uzasadniać własnościami wartości bezwzględnej i jednym ze wzorów skróconego mnożenia, konkretniej różnicą kwadratów ${\displaystyle (u^{2}-v^{2}=...)}$^[15]. Przykład użycia tej drugiej metody:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x^{2}-1&=0,\\(2x)^{2}-1^{2}&=0,\\(2x-1)(2x+1)&=0,\\2x-1=0\ \vee \ 2x+1&=0,\\x_{1}={\tfrac {1}{2}},\ x_{2}&=-{\tfrac {1}{2}},\end{aligned}}}$

gdzie symbol ${\displaystyle \vee }$ oznacza spójnik „lub”.

Inne szczególne przypadki

Wzory skróconego mnożenia

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy: ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$ Ten wzór pomaga rozwiązać niektóre równania kwadratowe zupełne, tzn. zawierające wszystkie trzy człony

Czasem zupełne równanie kwadratowe da się przedstawić w postaci iloczynowej, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Przykład – równanie:

${\displaystyle x^{2}+2x+1=0.}$

Można je zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

Wtedy istnieje jedno rozwiązanie: ${\displaystyle x_{0}=-1.}$

Współczynniki całkowite

Istnieją pewne szczególne metody rozwiązywania równań o współczynnikach całkowitych – równań, gdzie współczynniki postaci ogólnej są liczbami całkowitymi:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0,\\a,\ b,\ c\ &\in \mathbb {Z} .\\\end{aligned}}}$

W takich przypadkach istnieje metoda wyznaczania rozwiązań wymiernych, czyli ilorazów liczb całkowitych. Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna ${\displaystyle p/q,}$ gdzie ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q\neq 0}$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to ${\displaystyle p}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle c,}$ a ${\displaystyle q}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle a.}$

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady

• Rozwiązaniami wymiernymi równania

${\displaystyle 2x^{2}-7x+5=0}$

mogą być tylko liczby należące do zbioru ${\displaystyle \{-5,-1,1,5,-5/2,-1/2,1/2,5/2\}.}$ Podstawiając ${\displaystyle x=-5}$ otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie ${\displaystyle x=5}$ daje ${\displaystyle 20\neq 0;}$ liczba ${\displaystyle x=-1}$ podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość ${\displaystyle 14;}$ liczba ${\displaystyle x=1}$ jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest ${\displaystyle 5/2}$).

Jeśli współczynniki ${\displaystyle a,b,c}$ są innymi liczbami wymiernymi, to równanie można sprowadzić do postaci opisanej wyżej. Wystarczy pomnożyć je stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników tych współczynników. Uzyskane równanie jest równoważne, tj. ma jednakowy zbiór rozwiązań.

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

jest równa zeru, tzn. ${\displaystyle a+b+c=0,}$ to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba ${\displaystyle 1}$ (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli ${\displaystyle -a+b-c=0,}$ to liczba ${\displaystyle -1}$ jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład

Równanie

${\displaystyle 7x^{2}-x-8=0}$

na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy ${\displaystyle -1.}$

Rozwiązania przypadku ogólnego

Zobacz też: równanie i wielomian.

Wyróżnik

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
■ <0: x² + ¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x² + ⁴⁄₃x − ¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x² + ¹⁄₂x − ⁴⁄₃

Zobacz też: wyróżnik.

Ponieważ

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\tfrac {bx}{a}}+{\tfrac {c}{a}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {xb}{a}}+{\tfrac {4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left((x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\end{aligned}}}$

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

oraz

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Wyrażenie

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli ${\displaystyle \Delta =0,}$ to

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}.}$

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy ${\displaystyle \Delta <0,}$ to

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi ${\displaystyle {\tfrac {-b}{2a}}.}$ Jeżeli ${\displaystyle \Delta >0,}$ to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem ${\displaystyle {\tfrac {-b}{2a}}.}$ Przypadki dla ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi ${\displaystyle {\tfrac {-b}{2a}}}$ (por. wzory Viète’a).

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile ${\displaystyle \Delta \geqslant 0.}$ Dokładniej, jeśli:

• ${\displaystyle \Delta >0,}$ to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
• ${\displaystyle \Delta =0,}$ to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
• ${\displaystyle \Delta <0,}$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest pewną liczbą pierwszą większą od 2^{[potrzebny przypis]}.

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle -2x^{2}+3x-1=0}$

ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy

${\displaystyle 3^{2}-4(-2)(-1)=9-8=1>0.}$

Są nimi:

${\displaystyle x_{1}={\tfrac {-3-1}{2(-2)}}={\tfrac {-4}{-4}}=1}$ oraz

${\displaystyle x_{2}={\tfrac {-3+1}{2(-2)}}={\tfrac {-2}{-4}}={\tfrac {1}{2}}.}$

• Równanie

${\displaystyle x^{2}+2x=-4}$

po uporządkowaniu ma postać

${\displaystyle x^{2}+2x+4=0.}$

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż

${\displaystyle \Delta =2^{2}-4\cdot 1\cdot 4=-12<0,}$

jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ ${\displaystyle \Delta =-12=12i^{2},}$ to rozwiązania mają postać

${\displaystyle x_{1,2}=-1\pm {\sqrt {3}}i.}$

• Równanie

${\displaystyle 4x^{2}+4x+1=0}$

ma jedno rozwiązanie ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}},}$ gdyż wyróżnik

${\displaystyle 4^{2}-4\cdot 4\cdot 1=0.}$

Wzory Viète’a

Zobacz też: wzory Viète’a.

Znając jedno rozwiązanie, można wskazać drugie, korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ mają postać

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\\x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}.\end{cases}}}$

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$

spełniają równości ${\displaystyle b=u+v}$ i ${\displaystyle c=uv,}$ to można go zapisać jako

${\displaystyle (x+u)(x+v).}$

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0,}$

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

${\displaystyle x_{1}=-u}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=-v.}$

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle x^{2}+5x+6=0}$

daje się przedstawić w postaci

${\displaystyle (x+2)(x+3)=0,}$

skąd otrzymuje się rozwiązania

${\displaystyle x_{1}=-2}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=-3.}$

• Równanie

${\displaystyle x^{2}-5x-6=0}$

można zapisać jako

${\displaystyle (x+1)(x-6)=0,}$

co oznacza, że rozwiązaniami są liczby

${\displaystyle x_{1}=-1}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=6.}$

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

${\displaystyle x^{2}+bx+d=0}$

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

${\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-t)^{2},}$

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

${\displaystyle x^{2}+bx+c-c+d=0,}$

skąd

${\displaystyle (x-t)^{2}-(c-d)=0,}$

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

${\displaystyle (x-t-{\sqrt {c-d}})(x-t+{\sqrt {c-d}})=0,}$

co daje rozwiązania

${\displaystyle x=t+{\sqrt {c-d}}}$ oraz ${\displaystyle x=t-{\sqrt {c-d}}.}$

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy ${\displaystyle c-d>0.}$

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle x^{2}-4x+2=0}$

jest tożsame następującemu

${\displaystyle x^{2}-2\cdot 2x+4-4+2=0,}$

kontynuując uzyskuje się

${\displaystyle (x-2)^{2}-2=0,}$

co jest równoważne

${\displaystyle (x-2)^{2}-({\sqrt {2}})^{2}=0}$

oraz

${\displaystyle (x-2-{\sqrt {2}})(x-2+{\sqrt {2}})=0,}$

a więc rozwiązaniami są

${\displaystyle x_{1}=2+{\sqrt {2}}}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=2-{\sqrt {2}}.}$

Uogólnienia

Przykładowy okrąg w kartezjańskim układzie współrzędnych. Można go opisać równaniem kwadratowym o dwóch niewiadomych

Przykładowe kwadryki – powierzchnie, które da się opisać równaniami kwadratowymi o trzech zmiennych rzeczywistych

Wiele niewiadomych

Oprócz równań kwadratowych powyższego typu rozważa się też równania kwadratowe z większą liczbą niewiadomych, np.:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by=c.}$

To równanie może być opisem okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych^[16]. Ogólne równanie kwadratowe o dwóch niewiadomych opisuje artykuł: krzywa drugiego stopnia.

Znanym równaniem kwadratowym o trzech niewiadomych jest równanie Pitagorasa^[17][18]:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}$

Ogólne równania kwadratowe o trzech niewiadomych opisuje artykuł: kwadryka.

Inne uogólnienia

Rozważa się też:

• równania kwadratowe – z jedną lub wieloma niewiadomymi – w których zmienne nie są rzeczywiste^[3][a];
• równania, gdzie niewiadome występują też w innych potęgach – przykłady to:
  • równania sześcienne i inne równania wielomianowe wyższych stopni;
  • bardziej ogólne równania wymierne;
  • inne równania algebraiczne^[1];
• równania kwadratowe z modułem. W takich równaniach występują wartości bezwzględne z trójmianów kwadratowych, czyli wyrażenia postaci ${\displaystyle |ax^{2}+bx+c|.}$ Mogą być przyrównane do stałej, do wyrażenia liniowego lub do trójmianu kwadratowego. Takich wyrażeń kwadratowych w module może być wiele – mogą być do siebie dodawane i od siebie odejmowane^[19];
• nierówności kwadratowe – pomagają w tym pojęcia funkcji kwadratowej i jej wykresu^[20].

Zobacz też

Zobacz publikację Równania kwadratowe w Wikibooks

• okrąg Carlyle’a

Uwagi

1. Przykłady to liczby zespolone ${\displaystyle (\mathbb {C} )}$, dualne, podwójne, hiperzespolone lub reszty z dzielenia przez ustaloną liczbę naturalną ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n}).}$ Ogólne struktury z dodawaniem i mnożeniem to jeden z przedmiotów algebry abstrakcyjnej. Ta nauka nazywa część takich struktur ciałami, inne pierścieniami, a jeszcze inne półpierścieniami.