Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe, równanie drugiego stopnia^[1][2] – rodzaj równania, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze i opcjonalnie też w pierwszej. Zazwyczaj równanie kwadratowe w domyśle ma jedną niewiadomą – wtedy zawsze sprowadza się do postaci^[3]:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq 0.}$

Ten artykuł dotyczy równań kwadratowych i ich rozwiązań. Zobacz też: funkcja kwadratowa, gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście.

Wzór na rozwiązania równania kwadratowego, gdzie ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ to współczynniki postaci ogólnej

Założenie ${\displaystyle a\neq 0}$ oznacza, że do równań kwadratowych nie zalicza się równań liniowych.

Niewiadoma i współczynniki mogą być liczbami rzeczywistymi lub elementami dowolnej innej struktury, której elementy da się dodawać i mnożyć. W dalszej części opisano głównie równania kwadratowe o zmiennych rzeczywistych. Jest to standardowy element wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo równania kwadratowe tego typu znalazły się w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym^[4].

Równania kwadratowe w powyższym sensie mają uogólnienia opisane w odpowiedniej sekcji.

Definicje

W równaniu kwadratowym

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

wielkości ${\displaystyle a,b,c}$ są znane jako współczynniki, kolejno: kwadratowy, liniowy i stały bądź wyraz wolny^[5]. Rozwiązaniem nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce ${\displaystyle x}$ daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0,}$

dla pewnych liczb ${\displaystyle x_{1},x_{2},}$ to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb ${\displaystyle x_{1},x_{2},}$ gdyż podstawiona zamiast ${\displaystyle x}$ sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być ${\displaystyle x_{1}=x_{2},}$ wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

${\displaystyle a(x-x_{1})^{2}=0.}$

Rozwiązania szczególnych przypadków

Wzory skróconego mnożenia

Zobacz też: wzory skróconego mnożenia.

Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle x^{2}+2x+1=0}$

można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako

${\displaystyle (x+1)^{2}=0,}$

wtedy ${\displaystyle x=-1}$ jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.

• Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie

${\displaystyle 4x^{2}-1=0}$

jest tożsame równaniu

${\displaystyle (2x-1)(2x+1)=0,}$

skąd musi być

${\displaystyle 2x-1=0}$ lub ${\displaystyle 2x+1=0,}$

tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb

${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}}$ oraz ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}.}$

Współczynniki całkowite

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$

gdzie ${\displaystyle a,b,c}$ są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna ${\displaystyle p/q,}$ gdzie ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q\neq 0}$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to ${\displaystyle p}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle c,}$ a ${\displaystyle q}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle a.}$

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady

• Rozwiązaniami wymiernymi równania

${\displaystyle 2x^{2}-7x+5=0}$

mogą być tylko liczby należące do zbioru ${\displaystyle \{-5,-1,1,5,-5/2,-1/2,1/2,5/2\}.}$ Podstawiając ${\displaystyle x=-5}$ otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie ${\displaystyle x=5}$ daje ${\displaystyle 20\neq 0;}$ liczba ${\displaystyle x=-1}$ podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość ${\displaystyle 14;}$ liczba ${\displaystyle x=1}$ jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest ${\displaystyle 5/2}$).

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

jest równa zeru, tzn. ${\displaystyle a+b+c=0,}$ to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba ${\displaystyle 1}$ (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli ${\displaystyle -a+b-c=0,}$ to liczba ${\displaystyle -1}$ jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład

Równanie

${\displaystyle 7x^{2}-x-8=0}$

na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy ${\displaystyle -1.}$

Rozwiązania przypadku ogólnego

Zobacz też: równanie i wielomian.

Wyróżnik

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
■ <0: x² + ¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x² + ⁴⁄₃x − ¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x² + ¹⁄₂x − ⁴⁄₃

Zobacz też: wyróżnik.

Ponieważ

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\tfrac {bx}{a}}+{\tfrac {c}{a}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {xb}{a}}+{\tfrac {4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x^{2}+{\tfrac {2xb}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left((x+{\tfrac {b}{2a}})^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\end{aligned}}}$

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

oraz

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Wyrażenie

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli ${\displaystyle \Delta =0,}$ to

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}.}$

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy ${\displaystyle \Delta <0,}$ to

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi ${\displaystyle {\tfrac {-b}{2a}}.}$ Jeżeli ${\displaystyle \Delta >0,}$ to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem ${\displaystyle {\tfrac {-b}{2a}}.}$ Przypadki dla ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi ${\displaystyle {\tfrac {-b}{2a}}}$ (por. wzory Viète’a).

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile ${\displaystyle \Delta \geqslant 0.}$ Dokładniej, jeśli:

• ${\displaystyle \Delta >0,}$ to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
• ${\displaystyle \Delta =0,}$ to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
• ${\displaystyle \Delta <0,}$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest pewną liczbą pierwszą większą od 2^{[potrzebny przypis]}.

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle -2x^{2}+3x-1=0}$

ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy

${\displaystyle 3^{2}-4(-2)(-1)=1>0.}$

Są nimi ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{2}}}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=1.}$

• Równanie

${\displaystyle x^{2}+2x=-4}$

po uporządkowaniu ma postać

${\displaystyle x^{2}+2x+4=0.}$

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż

${\displaystyle \Delta =2^{2}-4\cdot 1\cdot 4=-12<0,}$

jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ ${\displaystyle \Delta =-12=12i^{2},}$ to rozwiązania mają postać

${\displaystyle x_{1,2}=-1\pm {\sqrt {3}}i.}$

• Równanie

${\displaystyle 4x^{2}+4x+1=0}$

ma jedno rozwiązanie ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}},}$ gdyż wyróżnik

${\displaystyle 4^{2}-4\cdot 4\cdot 1=0.}$

Wzory Viète’a

Zobacz też: wzory Viète’a.

Znając jedno rozwiązanie, można wskazać drugie, korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ mają postać

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\\x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}.\end{cases}}}$

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$

spełniają równości ${\displaystyle b=u+v}$ i ${\displaystyle c=uv,}$ to można go zapisać jako

${\displaystyle (x+u)(x+v).}$

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0,}$

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

${\displaystyle x_{1}=-u}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=-v.}$

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle x^{2}+5x+6=0}$

daje się przedstawić w postaci

${\displaystyle (x+2)(x+3)=0,}$

skąd otrzymuje się rozwiązania

${\displaystyle x_{1}=-2}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=-3.}$

• Równanie

${\displaystyle x^{2}-5x-6=0}$

można zapisać jako

${\displaystyle (x+1)(x-6)=0,}$

co oznacza, że rozwiązaniami są liczby

${\displaystyle x_{1}=-1}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=6.}$

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

${\displaystyle x^{2}+bx+d=0}$

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

${\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-t)^{2},}$

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

${\displaystyle x^{2}+bx+c-c+d=0,}$

skąd

${\displaystyle (x-t)^{2}-(c-d)=0,}$

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

${\displaystyle (x-t-{\sqrt {c-d}})(x-t+{\sqrt {c-d}})=0,}$

co daje rozwiązania

${\displaystyle x=t+{\sqrt {c-d}}}$ oraz ${\displaystyle x=t-{\sqrt {c-d}}.}$

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy ${\displaystyle c-d>0.}$

Przykłady

• Równanie

${\displaystyle x^{2}-4x+2=0}$

jest tożsame następującemu

${\displaystyle x^{2}-2\cdot 2x+4-4+2=0,}$

kontynuując uzyskuje się

${\displaystyle (x-2)^{2}-2=0,}$

co jest równoważne

${\displaystyle (x-2)^{2}-({\sqrt {2}})^{2}=0}$

oraz

${\displaystyle (x-2-{\sqrt {2}})(x-2+{\sqrt {2}})=0,}$

a więc rozwiązaniami są

${\displaystyle x_{1}=2+{\sqrt {2}}}$ oraz ${\displaystyle x_{2}=2-{\sqrt {2}}.}$

Uogólnienia

Oprócz równań kwadratowych powyższego typu rozważa się też:

• równania kwadratowe z większą liczbą niewiadomych^[6];
• równania takiej samej postaci – z jedną lub wieloma niewiadomymi – w których zmienne nie są rzeczywiste^[a];
• równania, gdzie niewiadome występują też w innych potęgach – przykłady to równania wielomianowe wyższych stopni, niektóre równania wymierne i bardziej ogólne równania algebraiczne^[1].

Zobacz też

Zobacz publikację Równania kwadratowe w Wikibooks

• okrąg Carlyle’a
• równanie sześcienne
• równanie czwartego stopnia

Uwagi

1. Przykłady to liczby zespolone, dualne, podwójne, hiperzespolone lub reszty z dzielenia przez ustaloną liczbę całkowitą. Algebra abstrakcyjna bada m.in. ogólne struktury z dodawaniem i mnożeniem – część z nich nazywa ciałami, inne pierścieniami, a jeszcze inne półpierścieniami.