Elementy najmniejszy i największy
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:
Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:
Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.
Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest „większa” od swych dzielników, tzn. m jest „mniejsze” od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną)[1].
Z drugiej strony zbiór liczb uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).
Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:
- zbiór liczb
z naturalnym porządkiem
ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
- zbiór liczb naturalnych
ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
- zbiór liczb całkowitych
nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;
aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór
liczb wymiernych w przedziale domkniętym
ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory
liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych
oraz
w przedziale o krańcach niewymiernych
elementu najmniejszego ani największego nie mają.