Trójkąt prostokątny – trójkąt , którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty [1] .
Trójkąt prostokątny a, b – długości przyprostokątnych, c – długość przeciwprostokątnej, α, β – miary kątów ostrych, h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną
Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi , trzeci bok przeciwprostokątną .
Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski , tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi . Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5[uwaga 1] .
Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.
Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa ;
Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość
a
b
c
,
{\displaystyle {\frac {ab}{c}},}
jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości.
Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:
S
=
1
2
c
⋅
h
,
{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}c\cdot h,}
S
=
1
2
a
⋅
b
,
{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}a\cdot b,}
S
=
1
2
b
2
tg
α
=
1
2
a
2
tg
β
,
{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}b^{2}\operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {1}{2}}a^{2}\operatorname {tg} \beta ,}
S
=
1
4
c
2
sin
2
α
=
1
4
c
2
sin
2
β
.
{\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}c^{2}\sin 2\alpha ={\tfrac {1}{4}}c^{2}\sin 2\beta .}
Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem[2] :
R
=
1
2
c
.
{\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}c.}
Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem[2] :
r
=
a
+
b
−
c
2
.
{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}.}
Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów :
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
2
−
c
2
.
{\displaystyle (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^{2}-c^{2}.}
Z twierdzenia Pitagorasa wynika:
(
a
+
b
)
2
−
c
2
=
2
a
b
.
{\displaystyle (a+b)^{2}-c^{2}=2ab.}
Zatem z wzorów na pole trójkąta :
S
=
p
r
=
1
2
a
b
=
a
+
b
−
c
2
p
{\displaystyle S=pr={\frac {1}{2}}ab={\frac {a+b-c}{2}}p}
i
r
=
a
+
b
−
c
2
.
{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}.}
Niech
r
1
,
r
2
{\displaystyle r_{1},r_{2}}
oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:
r
+
r
1
+
r
2
=
h
.
{\displaystyle r+r_{1}+r_{2}=h.}
Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego:
r
=
a
+
b
−
c
2
,
{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}},}
r
1
=
y
+
h
−
a
2
,
{\displaystyle r_{1}={\frac {y+h-a}{2}},}
r
2
=
x
+
h
−
b
2
,
{\displaystyle r_{2}={\frac {x+h-b}{2}},}
gdzie
x
,
y
{\displaystyle x,y}
to długości odcinków, na które wysokość dzieli
c
.
{\displaystyle c.}
Zatem
(
x
+
y
=
c
)
{\displaystyle (x+y=c)}
a
+
b
−
c
2
+
y
+
h
−
a
2
+
x
+
h
−
b
2
=
2
h
2
{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}+{\frac {y+h-a}{2}}+{\frac {x+h-b}{2}}={\frac {2h}{2}}}
r
1
2
+
r
2
2
=
r
2
,
{\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r^{2},}
co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.
Niech
r
a
,
r
b
,
r
c
{\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}
oznaczają promienie okręgów dopisanych . Wówczas są spełnione:
r
=
r
a
r
b
r
c
,
{\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}},}
r
c
=
r
+
r
a
+
r
b
.
{\displaystyle r_{c}=r+r_{a}+r_{b}.}
Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.
Henryk Pawłowski : Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria . Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 224–225. ISBN 83-86007-63-X . (pol. ) .