Zbiór skończony
zbiór o mocy będącej nieujemną liczbą całkowitą / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Zbiór skończony?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Zbiór skończony – zbiór o skończonej liczbie elementów. Nieujemną liczbę całkowitą określającą liczbę elementów zbioru skończonego nazywa się mocą zbioru. Zbiór skończony ma moc skończoną. Najmniejszym zbiorem skończonym jest zbiór pusty Ø.
Np. zbiór liczb
jest zbiorem skończonym o pięciu elementach; moc tego zbioru wynosi 5. Zbiór pusty ma moc równą zero.
Zbiory skończone mogą mieć bardzo dużo elementów. Np. liczba atomów w widzialnym wszechświecie, tzn. dostępnym w obserwacjach za pomocą najlepszych teleskopów, szacowana jest na ok. 1080.
Nie zawsze jest łatwo określić liczbę elementów zbiorów skończonych, gdy dana jest jedynie definicja zbioru. Np. na pytanie ile jest (pod)zbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego odpowiada dział matematyki zwany kombinatoryką. (W ogólności kombinatoryka zajmuje się badaniem różnych struktur, skończonych lub policzalnych nieskończonych, i odpowiada na pytanie o liczbę elementów zbiorów tych struktur; pośrednio zajmują się nim również teoria liczb oraz kryptografia.)
Do XIX wieku zgodnie z myślą Arystotelesa matematycy zajmowali się wyłącznie zbiorami skończonymi. Nieskończoność traktowano jako proces, który można w razie potrzeby bez przeszkód kontynuować. Np. w geometrii euklidesowej prostą traktowano jako odcinek, który można nieograniczenie przedłużać.
Przełom przyniosły prace Georga Cantora, który potraktował zbiory nieskończone jako byty o własnej hierarchii (zob. nieskończoności potencjalną i aktualną). Trudności istniejące w początkowej fazie rozwoju teorii spowodowały opór w postaci finityzmu, konstruktywizmu czy intuicjonizmu; w szczególności odrzucano pojęcie nieskończoności aktualnej (zob. aksjomat Cantora, nazywany też aksjomatem nieskończoności[uwaga 1]).
We współczesnej matematyce rozpatruje się z powodzeniem zbiory nieskończone, choć pojawiają się tu różne, nieoczekiwane, nieintuicyjne własności (np. paradoks Hilberta), których brak dla zbiorów skończonych.