Autokorelacja

Autokorelacja – narzędzie matematyczne często używane w przetwarzaniu sygnałów do analizowania funkcji lub serii wartości. Mniej formalnie jest to statystyka opisująca, w jakim stopniu dany wyraz szeregu zależy od wyrazów poprzednich w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentowi naturalnemu ${\displaystyle k}$ przypisuje wartość współczynnika korelacji Pearsona pomiędzy szeregiem czasowym a tym samym szeregiem cofniętym o ${\displaystyle k}$ jednostek czasu.

Przykładowy wykres autokorelacji. Wartości autokorelacji są umieszczone na osi pionowej, a przesunięcia czasowe na osi poziomej

Definicja

Statystyka

W statystyce funkcja autokorelacji opisuje korelację procesu w różnych punktach czasu. Załóżmy, że ${\displaystyle X_{t}}$ jest wartością procesu w czasie ${\displaystyle t.}$ Jeśli ${\displaystyle X_{t}}$ ma wartość oczekiwaną równą ${\displaystyle \mu }$ i wariancję równą ${\displaystyle \sigma ^{2},}$ wówczas wzór ma postać:

${\displaystyle R(t,s)={\frac {E[(X_{t}-\mu )(X_{s}-\mu )]}{\sigma ^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle E}$ jest wartością oczekiwaną.

Definiuje się również autokorelację jako funkcję jednej zmiennej – różnicy ${\displaystyle k=t-s{:}}$

${\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{t}-\mu )(X_{t-k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}.}$

Na przykład autokorelacja cen akcji dla ${\displaystyle k=1}$ tydzień będzie korelacją cen akcji z cenami tych samych akcji sprzed tygodnia.

Przetwarzanie sygnałów

W przetwarzaniu sygnałów poniższa definicja jest często stosowana bez normalizacji, to znaczy bez odejmowania średniej oraz dzielenia przez wariancję.

${\displaystyle R_{ff}(\tau )={\overline {f}}(-\tau )*f(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f}}(t-\tau )\,dt,}$

gdzie ${\displaystyle \tau }$ jest opóźnieniem, a ${\displaystyle {\overline {f}}}$ liczbą sprzężoną.

Zobacz też

• autokowariancja
• autoregresja
• korelacja wzajemna
• funkcja autokorelacji cząstkowej