Szereg czasowy

Szereg czasowy – ciąg uporządkowanych danych pochodzących z obserwacji lub eksperymentów dokonywanych w określonych jednostkach czasu. W modelowaniu statystycznym szereg czasowy jest traktowany jako realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas^[1]. Szeregi czasowe służą do wykrywania trendów statystycznych występujących w zebranych danych^[2]. Matematyczne modelowanie trendów i analiza statystyczna szeregów czasowych jest podstawą większości metod prognozowania statystycznego stosowanego w wielu dziedzinach od meteorologii po giełdową analizę techniczną^[3].

Przykładowy, sztucznie wygenerowany szereg czasowy na który składa się 1000 punktów pomiarowych, w którym występują następujące składniki: silny czynnik losowy, stały trend wznoszący i wahania cykliczne. Czarna linia: wyjściowy szereg czasowy, linia czerwona i niebieska: wygładzenie szeregu metodą średnich ruchomych - czerwona - (średnia z 10 kolejnych wartości) - ilustruje wahania cykliczne, niebieska: (średnia ze 100 kolejnych wartości) - ilustruje stały trend wznoszący

Przykładem szeregu czasowego jest zbiór temperatur powietrza mierzonego w regularnych odstępach czasu przez stację meteorologiczną czy zbiór wartości indeksów giełdowych ogłaszanych na koniec każdej sesji giełdowej.^[3]

Notacja

Do oznaczania ciągów czasowych stosowane są różne notacje. Często ciąg czasowy ${\displaystyle X}$ indeksowany liczbami naturalnymi zapisuje się jako

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}.}$

Inna notacja to zapis:

${\displaystyle Y=\{Y_{t}:t\in T\},}$

gdzie ${\displaystyle T}$ to zbiór indeksujący.

Własności

Wyróżnia się następujące typowe składowe szeregu czasowego^[2]:

• tendencja rozwojowa (trend),
• wahania sezonowe,
• wahania cykliczne (koniunkturalne),
• wahania przypadkowe.

Badaniem własności szeregów czasowych i prognozowaniem na ich podstawie zajmuje się analiza szeregów czasowych.

Modele szeregów czasowych mają wiele postaci. Trzy popularne klasy modeli szeregów czasowych to^[3]:

• modele z ruchomą średnią (MA),
• modele autoregresyjne (AR),
• modele integrowane (I, Integrated).

Złożenia tych trzech klas to m.in.

• modele autoregresyjne ze średnią ruchomą (ARMA),
• zintegrowane modele autoregresyjne ze średnią ruchomą (ARIMA).

Wykorzystuje się również bardziej złożone klasy modeli. Przykładem są modele autoregresji z heteroskedastycznością warunkową, np. CGARCH, EGARCH, FIGARCH, GARCH, stosowane w ekonometrii finansowej.