Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa
Brachistochrona
krzywa minimalizująca czas staczania się Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Remove ads
Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy[1].

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Problem brachistochrony postawiony został w 1696 przez Johanna Bernoulliego, był wynikiem rywalizacji braci Jakoba oraz Johanna Bernoullich[2]. Problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.
Remove ads
Rozwiązanie zagadnienia
Podsumowanie
Perspektywa
Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest punkty i można zapisać następująco:
- oraz
Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:
gdzie:
- – długość krzywej,
- – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:
stąd:
Wyrażenia na i można teraz wstawić do wyjściowej całki:
Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt jako co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:
Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego
gdzie oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:
Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:
Remove ads
Zobacz też
Przypisy
Linki zewnętrzne
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads