Ciało ułamków

Ciało ułamków pierścienia całkowitego – ciało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego ${\displaystyle {\mathfrak {R}},}$ o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznie^[1][2]. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbioru multyplikatywnego ${\displaystyle {\mathfrak {R}}\setminus \{0\},}$ czyli na dziedzinie całkowitości^[3].

Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego^[1] lub ciałem ułamków dziedziny całkowitości^[4].

Konstrukcja

Mając daną dziedzinę całkowitości ${\displaystyle {\mathfrak {R}},}$ konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze ${\displaystyle {\mathfrak {R}}\times ({\mathfrak {R}}\setminus \{0\})}$ określa się następującą relację:

${\displaystyle (a,b)\wr (c,d)\Leftrightarrow ad=bc}$^{[5][6][7][8][9]}.

Relacja ${\displaystyle \wr }$ jest:

• zwrotna, ponieważ: ${\displaystyle ab=ba\Rightarrow (a,b)\wr (a,b);}$
• symetryczna, ponieważ: ${\displaystyle (a,b)\wr (c,d)\Rightarrow ad=bc\Rightarrow cb=da\Rightarrow (c,d)\wr (a,b);}$
• przechodnia, ponieważ:

${\displaystyle (a,b)\wr (c,d)\wedge (c,d)\wr (e,f)\Rightarrow ad=bc\wedge cf=de\Rightarrow adf=bcf\wedge bcf=bde\Rightarrow adf=bde{\stackrel {d\neq 0}{\Rightarrow }}af=be\Rightarrow (a,b)\wr (e,f)}$^[5][9].

Zatem jest to relacja równoważności^{[5][7][10][9]}.

Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji ${\displaystyle \wr }$) następująco:

${\displaystyle {\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}}):=\left({\mathfrak {R}}\times ({\mathfrak {R}}\setminus \{0\})\right)/_{\wr }}$^[11],

ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji:

${\displaystyle [(a,b)]_{\wr }\oplus [(c,d)]_{\wr }=[(ad+bc,bd)]_{\wr }\qquad [(a,b)]_{\wr }\odot [(c,d)]_{\wr }=[(ac,bd)]_{\wr }}$^{[11][9][8][12]}.

Powstała struktura ${\displaystyle {\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}}),}$ wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałem^[13][14] i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$^[15][7][16].

Ułamki

Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę ${\displaystyle [(l,m)]_{\wr }}$ zapisuje się zwyczajowo jako ${\displaystyle {\frac {l}{m}}}$^{[9][15][7][8]}, przy czym liczbę ${\displaystyle l}$ nazywa się licznikiem, a ${\displaystyle m}$ – mianownikiem^[9].

Zanurzenie izomorficzne

Zdefiniujmy funkcję ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {R}}\to {\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}})}$ następująco:

${\displaystyle \varphi (x):=[(x,{\widetilde {\mathcal {1}}})]_{\wr },}$ gdzie ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {1}}}}$ jest jedynką pierścienia^{[13][17][18][9][19]}.

Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ w ciało ułamków^[13][17][19]. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ z odpowiednimi ułamkami ciała ${\displaystyle {\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}})}$^[17].

Przykłady

• Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^{[4][15][6][3][20]}.
• Ciało ułamków pierścienia ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$ jest izomorficzne z ciałem ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$^[21][22][23].
• Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych Gaussa ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ jest izomorficzne z ciałem Gaussa ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$^[24][25][26].
• Ciało ułamków pierścienia wielomianów stanowiącego dziedzinę całkowitości jest izomorficzne z ciałem wyrażeń wymiernych^{[3][4][15][27][20][28]}.
  • W szczególności, ciało ułamków pierścienia wielomianów rzeczywistych jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych rzeczywistych^[6][9].
• Ciała ułamków pierścienia wielomianów całkowitych i pierścienia wielomianów wymiernych są izomorficzne^[29].

Twierdzenia

• Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków również^[30][31].
• Ciało ułamków dowolnego ciała ${\displaystyle \mathbb {K} }$ jest izomorficzne z ciałem ${\displaystyle \mathbb {K} }$^[32].
• Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścienia^[33].
• Ciało ułamków dziedziny całkowitości ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$^[19].