Funkcja wymierna

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych^[1]. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Definicje

Niech ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będą funkcjami wielomianowymi:

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},}$

${\displaystyle B(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}.}$

Ich współczynniki mogą być prawie dowolnymi liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub należeć do innej struktury algebraicznej nazywanej ciałem. Jedynym ograniczeniem jest wymóg, że ${\displaystyle B}$ nie jest funkcją zerową: ${\displaystyle B\not \equiv 0,}$ tzn. co najmniej jeden ze współczynników ${\displaystyle b_{i}}$ jest różny od zera. Wtedy funkcję

${\displaystyle f(x)={\frac {A(x)}{B(x)}}}$

nazywa się funkcją wymierną^[a]. Jej dziedziną jest dziedzina funkcji ${\displaystyle A}$ z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji ${\displaystyle B.}$

Jeśli stopień licznika jest niższy niż mianownika – czyli w tej notacji ${\displaystyle n<m}$ – to funkcję wymierną nazywa się właściwą^[2].

Przykłady i zastosowania

• Funkcja ${\displaystyle f(x)={\tfrac {2(1+3x)}{3(1-x)^{2}}}}$ jest wymierna.
• Wyrażenie ${\displaystyle (1+x)^{y}}$ nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
• Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
• Jeśli ${\displaystyle g}$ jest dowolnym wielomianem, a ${\displaystyle h}$ jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne ${\displaystyle f={\tfrac {g}{h}}}$ również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
• Funkcja ${\displaystyle f(x)={\tfrac {ax+b}{cx+d}}}$ jest wymierna. Jeżeli ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla ${\displaystyle c=0}$ jest to funkcja liniowa).

• Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
• Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
• W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.

Własności

• Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli ${\displaystyle P}$ jest pierścieniem całkowitym oraz ${\displaystyle P[x]}$ jego pierścieniem wielomianów, to ${\displaystyle K}$ jest ciałem ułamków pierścienia ${\displaystyle P[x].}$
• Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
• Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
• Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną

Zobacz też

Zobacz publikację Funkcje wymierne w Wikibooks

Zobacz w Wikiźródłach tekst Całki funkcji wymiernych

Zobacz hasło funkcja wymierna w Wikisłowniku

• całkowanie funkcji wymiernych
• funkcja niewymierna

Uwagi

1. W wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.