Funkcja prosta

Funkcja prosta – dwuznaczne pojęcie matematyczne:

• w sensie szerokim jest to każda funkcja przyjmująca skończenie wiele wartości;
• w sensie wąskim jest to każda funkcja, która oprócz tego przyjmuje wartości nieujemne i jest mierzalna^{[potrzebny przypis]}.

Prosta funkcja kwadratowa przyjmująca jedynie wartości 0 i 1

Przykłady to funkcje charakterystyczne przyjmujące co najwyżej dwie (co najmniej jedną z) wartości: ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle 1.}$

Własności

Postać funkcji prostej

Dla dowolnej funkcji prostej ${\displaystyle f\colon A\to [0,+\infty ),}$ gdzie ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ istnieje ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ oraz nieujemne liczby ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ i zbiory ${\displaystyle A\supseteq B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {F}},}$ dla których

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}~a_{i}\chi _{B_{i}},}$

gdzie ${\displaystyle \chi _{B_{i}}}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle B_{i}}$^[a].

Uwagi

1. Niekiedy dodatkowo żąda się, żeby liczby ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ nie powtarzały się, a zbiory ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}}$ były rozbiciem zbioru ${\displaystyle A,}$ co upraszcza nieco dowód.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Simple Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].