Grupa multiplikatywna

${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\};}$ w przeciwnym razie zbiór ${\displaystyle R^{*}}$ jest mniejszy, np. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\{1,-1\};}$

• algebraiczny torus ${\displaystyle GL_{1}}$ jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa ${\displaystyle \mathbb {G} _{m},}$ ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multiplikatywna; jest rozmaitością grupową.
• w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ reprezentowany przez schemat grupowy ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right];}$ grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym ${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$ jest grupa homomorfizmów pierścieni ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R}$^[3]; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą ${\displaystyle R^{*}{:}}$ homomorfizmowi ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R}$ odpowiada jednoznacznie element ${\displaystyle f(X),}$ przy czym ${\displaystyle f(X)f(X^{-1})=1;}$

Ten artykuł dotyczy grupy w zapisie multiplikatywnym. Zobacz też: pierścień (matematyka), ciało (matematyka), algebra nad ciałem.

• w teorii grup: grupa w zapisie multiplikatywnym^[a] – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku ${\displaystyle \cdot ,}$ branie elementu odwrotnego przez ⁻¹, element neutralny zaś oznaczony jest przez ${\displaystyle 1}$^[1];
• w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multiplikatywna^[a] ${\displaystyle (R^{*},\cdot )}$ pierścienia, ciała, algebry łącznej ${\displaystyle R}$ to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia^[2]; często używane oznaczenia: ${\displaystyle R^{*},}$ ${\displaystyle R^{\cdot },}$ ${\displaystyle U(R);}$

  ${\displaystyle R^{*}=\{x\in R:\exists _{y\in R}\left[xy=1\right]\};}$

Sam schemat ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]}$ też jest nazywany grupą multiplikatywną.

Uwagi

1. W dawniejszych publikacjach stosowano przymiotnik multyplikatywny, który później przyjął postać multiplikatywny, prawdopodobnie od angielskiego przymiotnika multiplicative. W języku staropolskim słowo multyplikacja oznaczało „mnożenie”. Później słowniki ortograficzne zaczęły dopuszczać już tylko formę multi-.