Główny artykuł: Przykłady grup.

Przykład I

Niech dla dowolnych elementów

(a,b)

oraz

(c,d)

zbioru

\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}

będzie

(a,b)\diamondsuit (c,d)=(a,b+d);

czy

(\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,\diamondsuit )

jest grupą?

Wewnętrzność: $\diamondsuit$ jest działaniem wewnętrznym w $\mathbb {Z} ,$ ponieważ $a\in \mathbb {Z}$ i $b+d\in \mathbb {Z} ,$ o ile $a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,$ tzn. $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ jest zamknięty ze względu na $\diamondsuit .$
Łączność: czy dla dowolnych $(a,b),\,(c,d),\,(g,h)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ zachodzi $[(a,b)\diamondsuit (c,d)]\diamondsuit (g,h)=(a,b)\diamondsuit [(c,d)\diamondsuit (g,h)]$ ? Ponieważ $(a,b+d)\diamondsuit (g,h)=(a,b)\diamondsuit (c,d+h),$ czyli $(a,(b+d)+h)=(a,b+(d+h)),$ to działanie $\diamondsuit$ jest łączne, gdyż działanie $+$ jest łączne w $\mathbb {Z} .$
Element neutralny: czy istnieje w $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ element, niech to będzie $(a_{0},b_{0}),$ dla którego $(a,b)\diamondsuit (a_{0},b_{0})=(a,b)$ dla wszystkich $(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ? Jest to prawdą, o ile $(a,b+b_{0})=(a,b),$ co jest równoważne $b_{0}=0;$ przy tym brak jakiegokolwiek warunku na $a_{0}.$ Przykładowo $(0,0)$ oraz $(1,0)$ są prawostronnymi elementami neutralnymi^{[uwaga 37]}; w rzeczywistości dowolny element $(n,0)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ jest prawostronnym elementem neutralnym.

Ponieważ grupa ma jeden i tylko jeden prawostronny element neutralny^{[uwaga 38]}, to

\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}

nie jest grupą ze względu na

\diamondsuit .

Z drugiej strony, przykładowo względem

(0,0)

(w zasadzie względem dowolnego prawostronnego elementu neutralnego), każdy element

(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}

ma lewostronny element odwrotny

(0,-b){:}

(0,-b)\diamondsuit (a,b)=(0,-b+b)=(0,0)

(względem

(n,0)

lewostronnym elementem odwrotnym do

(a,b)

jest

(n,-b)

).

W ten sposób

(\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,\diamondsuit )

jest strukturą, w której istnieje prawostronny element neutralny oraz lewostronne elementy odwrotne względem każdego elementu, mimo to nie jest grupą (zob. Charakteryzacje).

Przykład II

Dla dowolnych dwóch elementów

a,b\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}

niech

a\circ b=ab-a-b+2;

czy

\mathbb {Q} \setminus \{1\}

jest grupą ze względu na

\circ

?

Wewnętrzność: sprawdzenie, że dla dowolnych $a,b\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ zachodzi $a\circ b=ab-a-b+2\in \mathbb {Q}$ nie wystarcza – należy również wykazać, że $a\circ b\neq 1.$ Niech $a,b\in \mathbb {Q} ,$ $a\neq 1\neq b;$ zakładając $a\circ b=1$ wykazana zostanie sprzeczność. Otóż jeśli $a\circ b=1,$ to $ab-a-b+2=1,$ czyli $ab-a-b+1=0,$ a więc $(a-1)(b-1)=0,$ co oznacza, że $a=1$ lub $b=1,$ sprzeczność. Zatem $a\circ b\in \mathbb {Q} \setminus \{1\},$ czyli $\circ$ jest działaniem wewnętrznym w $\mathbb {Q} \setminus \{1\}.$
Łączność: czy dla dowolnych $a,b,c\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ jest $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ ? Rozpisując obie strony równania, otrzymuje się kolejno: $(ab-a-b+2)\circ c=a\circ (bc-b-c+2),$ następnie $(ab-a-b+2)c-(ab-a-b+2)-c+2=a(bc-b-c+2)-a-(bc-b-c+2)+2$ oraz $abc-ac-bc+2c-ab+a+b-2-c+2=abc-ab-ac+2a-a-bc+b+c-2+2,$ co oznacza, że $\circ$ jest łączne.
Element neutralny: szukany jest element $e\in \mathbb {Q} \setminus \{1\},$ który dla dowolnego $a\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ spełnia $a\circ e=a.$ Zakładając, że taki element $e$ istnieje, otrzymuje się $ae-a-e+2=a,$ skąd $ae-e=2a-2,$ czyli $(a-1)e=2(a-1),$ a więc $e=2$ (ponieważ $a-1\neq 0$ ). Nie dowodzi to jeszcze, że $2\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ jest prawostronnym elementem neutralnym; poprzednie rozumowanie przekonuje jedynie, że prawostronny element neutralny, o ile istnieje, musi być równy $2.$ Aby przekonać się, że $2$ istotnie jest prawostronnym elementem neutralnym należy zauważyć, że $a\circ 2=a2-a-2+2=2a-a=a$ dla każdego $a\in \mathbb {Q} \setminus \{1\};$ ponieważ $2\in \mathbb {Q} \setminus \{1\},$ to istotnie jest to prawostronny element neutralny w $\mathbb {Q} \setminus \{1\}.$
Element odwrotny: dla każdego $a\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ należy znaleźć $x\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ spełniający $a\circ x=2;$ daje to $ax-a-x+2=2,$ czyli $ax-a-x+1=1,$ tj. $(a-1)(x-1)=1,$ skąd $x-1=1/(a-1),$ tzn. $x=a/(a-1),$ co ma sens, gdyż $a-1\neq 0.$ Nie oznacza to, że $a/(a-1)$ jest prawostronnym elementem odwrotnym do $a\in \mathbb {Q} \setminus \{1\},$ a jedynie to, że o ile taki element istnieje, musi mieć podaną wartość. Dlatego należy wykazać, że $a\circ a/(a-1)=2$ dla każdego $a\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}$ oraz że $a/(a-1)\in \mathbb {Q} \setminus \{1\}.$ Otóż $a\circ a/(a-1)=a(a/(a-1))-a-(a/(a-1))+2=(a-1)(a/(a-1))-a+2=2,$ a ponadto $a\circ a/(a-1)\neq 1,$ gdyż $a/(a-1)\in \mathbb {Q}$ oraz $a/(a-1)=1$ oznaczałyby, że $a=a-1,$ czyli $0=1,$ dawałoby sprzeczność.

Ponieważ spełnione są wszystkie aksjomaty grupy, to

\mathbb {Q} \setminus \{1\}

tworzy grupę z określonym wyżej działaniem

\circ .

Przykład III

Czy definiując na

\mathbb {Z}

działanie

*

dane wzorem

a*b=a+b+2

dla wszystkich

a,b\in \mathbb {Z} ,

otrzymuje się grupę

(\mathbb {Z} ,*)

?

Wewnętrzność: dla dowolnych $a,b\in \mathbb {Z}$ element $a*b=a+b+2$ jest liczbą całkowitą, zatem $\mathbb {Z}$ jest zamknięty ze względu na $*.$
Łączność: dla wszystkich $a,b,c\in \mathbb {Z}$ ma być spełnione $(a*b)*c=a*(b*c);$ istotnie $(a*b)*c=(a+b+2)*c=(a+b+2)+c+2=a+(b+c+2)+2=a+(b*c)+2=a*(b*c),$ czyli $*$ jest łączne.
Element neutralny: czy istnieje $e\in \mathbb {Z} ,$ dla której $a*e=a$ dla każdego $a\in \mathbb {Z}$ ? Równość daje $a+e+2=a,$ czyli $e=-2.$ Liczba $-2$ istotnie jest prawostronnym elementem neutralnym, gdyż $a*-2=a+(-2)+2=a$ dla każdego $a\in \mathbb {Z} .$
Element odwrotny: czy liczba całkowita $a$ ma prawostronny element odwrotny w $\mathbb {Z}$ ? Warunek $a*x=-2$ daje $a+x+2=-2,$ tj. $x=-4-a\in \mathbb {Z} .$ Liczba $-4-a$ rzeczywiście jest prawostronnym elementem odwrotnym do $a,$ ponieważ $a*(-4-a)=a+(-4-a)+2=-2.$

W rzeczy samej, zbiór

\mathbb {Z}

jest grupą względem działania

*.

Przykład IV

Niech

A

oznacza niepusty zbiór, a

{\mathcal {P}}(A)

oznacza zbiór wszystkich podzbiorów

A.

Zbiór

{\mathcal {P}}(A)

tworzy grupę z działaniem różnicy symetrycznej

\triangle ,

ponieważ spełnione są aksjomaty grupy:

Wewnętrzność: dla dowolnych $S,T\in {\mathcal {P}}(A)$ zbiór $S\triangle T$ jest podzbiorem $A,$ czyli $S\triangle T\in {\mathcal {P}}(A),$ a więc ${\mathcal {P}}(A)$ jest zamknięty ze względu na $\triangle .$
Łączność: $\triangle$ jest łączne.
Element neutralny: podzbiór pusty $\varnothing$ jest prawostronnym elementem neutralnym.
Element odwrotny: każdy element ma $S\in {\mathcal {P}}(A)$ ma prawostronny element odwrotny, mianowicie samego siebie, ponieważ $S\triangle S=\varnothing$ dla dowolnego $S\in {\mathcal {P}}(A).$

Najprostszą, a zarazem najmniejszą grupą jest grupa trywialna złożona z jednego elementu^{[uwaga 39]}. Dalsze przykłady obejmują grupę przekształceń ustalonego zbioru (ostatni przykład w Motywacja); grupę euklidesową, czyli grupę izometrii ustalonej przestrzeni euklidesowej; grupę symetrii danej figury przestrzeni euklidesowej, czyli grupę izometrii własnych tej figury (tzn. izometrii odwzorowujących figurę na siebie); grupę diedralną, tzn. grupę symetrii wybranego wielokąta foremnego^{[uwaga 40]} (wszystkie z działaniem składania przekształceń). Ze względu na możliwość reprezentacji elementów grupy jako macierzy, ważnym przykładem są różnorodne grupy macierzy (odwracalnych z działaniem ich mnożenia, np. wygodna reprezentacja macierzowa grupy kwaternionów).