Element neutralny

Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Pojęcie to pojawia się w definicjach podstawowych struktur algebraicznych takich jak:

• grupy^[1] i ich uogólnienia jak monoidy^[2] i lupy^[3];
• ciała^[4] i bardziej ogólne pierścienie^[5];
• przestrzenie liniowe^[6] i ogólniejsze moduły^[7];
• algebry Boole’a^[8].

Rozważa się też ich uogólnienia jak półgrupa, quasi-grupa, grupoid, półpierścień czy krata, w których taki element nie musi istnieć.

Definicja

Niech ${\displaystyle S}$ będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym ${\displaystyle \diamondsuit .}$ Element ${\displaystyle e}$ nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki^[9]:

• ${\displaystyle e\in S,}$
• ${\displaystyle \forall _{a\in S}\;e\;\diamondsuit \;a=a,}$
• ${\displaystyle \forall _{a\in S}\;a\;\diamondsuit \;e=a.}$

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez ${\displaystyle +}$ i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem ${\displaystyle 0}$ i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą ${\displaystyle \cdot ,\times }$ lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku ${\displaystyle 1,}$ który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera ${\displaystyle e}$ oraz ${\displaystyle I}$ oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady

Elementy neutralne obustronne

• Zero w grupie addytywnej ciała liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Jedynka w grupie multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Macierz jednostkowa dla mnożenia w pierścieniu macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru.
• Odwzorowanie tożsamościowe w grupach bijekcji (ze składaniem przekształceń).

Elementy neutralne jednostronne

• Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:

  ${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} }\;x-0=x,}$

jednocześnie

${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} }\;0-x=-x,}$

a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.

• Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech ${\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor }$ będzie działaniem w zbiorze ${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant 1\},}$ gdzie ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba ${\displaystyle y<2}$ jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem

  ${\displaystyle \forall _{S\ni x,y<2}\;x\;\diamondsuit \;y=x\cdot \lfloor y\rfloor =x\cdot 1=x.}$

Działania bez elementów neutralnych

• w zbiorze liczb całkowitych parzystych mnożenie nie ma elementu neutralnego (ani obustronnego ani jednostronego).

Własności

• Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
• Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.