Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy – rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której oczekujemy na zjawisko całkowicie losowe, mogące zajść w dowolnej chwili ${\displaystyle t\geqslant 0,}$ przy czym rozkład prawdopodobieństwa nie zmienia się, jeśli wiemy, że zjawisko nie zaszło w przedziale czasu ${\displaystyle [0,s].}$ Ściślej, jeśli oznaczymy tę zmienną przez ${\displaystyle X,}$ możemy tę własność braku pamięci zapisać jako

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X>s+t|X>s\right)=\mathbb {P} \left(X>t\right).}$

Rozkład wykładniczy

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle \lambda >0}$ odwrotność parametru skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle [0,\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}\cdot \mathbf {1} _{[0,\infty )}}$[1]
Dystrybuanta	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$[1]
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$[2]
Mediana	${\displaystyle {\frac {\ln(2)}{\lambda }}}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Wariancja	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$[2]
Współczynnik skośności	${\displaystyle 2}$
Kurtoza	${\displaystyle 6}$
Entropia	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}}$

Okazuje się, że wówczas, jeśli ${\displaystyle X}$ ma rozkład ciągły określony na przedziale ${\displaystyle [0,\infty ),}$ to jego gęstość musi być równa ${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x},}$ dla pewnego ${\displaystyle \lambda >0}$^[1].

Rozkład wykładniczy jest specjalnym przypadkiem rozkładu gamma, tzn. gdy ${\displaystyle X}$ ma rozkład ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (1,\lambda ),}$ to ${\displaystyle X}$ ma rozkład ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda ).}$ Co więcej, jeśli zmienne ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ są niezależne i mają rozkład ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda ),}$ to zmienna ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}$ ma rozkład ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (n,\lambda )}$^[3].

Innymi słowy, jeżeli w jednostce czasu zachodzi średnio ${\displaystyle \lambda }$ niezależnych zdarzeń, to rozkład wykładniczy opisuje odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami, co służy konstrukcji procesu Poissona^[4].

Zobacz też

• zmienna losowa
• prawo rozpadu naturalnego
• rozkład gamma